Wie rechnen ich diese Ableitung genau aus?

Question

Aufgabe:

Ich habe eine kurze Frage bezüglich einer Ableitung.

Es geht um folgenden Ausdruck:

\( \frac{d}{dt} \)  \( \frac{3(u´(t))^2}{(t+1)^2} \) =0

Wie rechnen ich diese Ableitung genau aus? Besonders weiß  ich nicht genau wie man mit 3((u´(t))2 umgehen soll.

Comments

Quotientenregel anwenden:

u = 3*(u'(t))^2 → u' = 6*(u'(t))*u''(t)

v= (t+1)^2 -->v' = 2*(t+1)*1

Answer 1

Aloha :)

Das ist ein Fall für die Quotientenregel in Verbindung mit der Kettenregel:$$\left[\frac{3(u'(t))^2}{(t+1)^2}\right]'=3\left[\frac{\overbrace{(u'(t))^2}^{=z(t)}}{\underbrace{(t+1)^2}_{=n(t)}}\right]'=3\,\frac{\overbrace{\overbrace{2u'(t)}^{\text{äußere}}\cdot\overbrace{u''(t)}^{\text{innere}}}^{=z'(t)}\cdot\overbrace{(t+1)^2}^{n(t)}-\overbrace{(u'(t))^2}^{=z(t)}\cdot\overbrace{2(t+1)}^{=n'(t)}}{\underbrace{(t+1)^4}_{=n^2(t)}}$$$$\phantom{\left[\frac{3(u'(t))^2}{(t+1)^2}\right]'}=3\left(\frac{2u'(t)u''(t)}{(t+1)^2}-\frac{2(u'(t))^2}{(t+1)^3}\right)=\frac{6u'(t)}{(t+1)^3}\left[(t+1)u''(t)-u'(t)\right]$$

Comments

Hallo,

danke für die Hilfe. War gerade irgendwie blind dafür :)

Hätte aber eine weiterführende Frage wenn das ok ist.

Ich versuche gerade die Differentialgleichung zu lösen um die NUllstellen zu finden sprich:

\( \frac{6λ}{(t+1)^3} \) [(t+1)λ²-λ] = 0

Aber um dies zu lösen stören mich ja die (t+1) oder nicht?

Muss ich die davor wegbekommen bevor dich die Dgl löse?

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Wenn du auf beiden Seiten der Gleichung mit \((t+1)^3\) multiplizierst, erhältst du:$$\left.\frac{6\lambda}{(t+1)^3}\left[(t+1)\lambda^2-\lambda\right]=0\quad\right|\quad\cdot(t+1)^3$$$$\left.6\lambda\left[(t+1)\lambda^2-\lambda\right]=0\quad\right|\quad\lambda\text{ ausklammern}$$$$\left.6\lambda^2\left[(t+1)\lambda-1\right]=0\quad\right.$$

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Also sind die Nullstellen:

λ_1,2= 0

λ₃= 1/(t+1) ?

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Ja, sieht gut aus ;)

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Schöner kann man es nicht darstellen. Klasse, Kollege! :))