Berechnen Sie das unbestimmte Integral ∫ x·e^x dx

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie das unbestimmte Integral

\( \int x e^{x} d x \)

Problem/Ansatz:

Ich dachte, dass die Stammfunktion (x+1)·e^x ist, aber das ist nicht richtig.

Answer 1

Aloha :)

Hier bietet sich eine partielle Integration an:$$\int \underbrace{x}_{=u}\cdot \underbrace{e^x}_{=v'} dx=\underbrace{x}_{=u}\cdot \underbrace{e^x}_{=v}-\int\underbrace{1}_{=u'}\cdot \underbrace{e^x}_{=v}dx=xe^x-\int e^x dx$$$$=xe^x-e^x+\text{const}=e^x(x-1)+\text{const}$$