Polynome ohne Nullstellen Faktorisieren

Question

Aufgabe:

Faktorisieren Sie folgende Polynome in ℂ[x] vollständig in Linearfaktoren:

p(x) = \( x^{4} \) -2\( x^{2} \) +4

p(x) = \( x^{6} \) +3\( x^{3} \) +3

Problem/Ansatz:

Diese Polynome haben keine Nullstellen, d.h. Polynomdivison etc. helfen hier nicht.

Da gibt es bestimmt eine Regel oder einen Satz zu, ich weiß nur nicht wie dieser heißt.

Also wenn mir jemand auf die Sprünge helfen könnte :)

Comments

Das Stichwort hier ist "Substitution". Dann hast Du quadratische Gleichungen.

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Substituieren und dann die pq-Formel verwenden wäre die Brechstangenmethode. Es gibt sicher auch noch andere Wege.

PS: Der Kommentar bezieht sich auf die Frage, nicht auf den vorstehenden Vorschlag von Unknown.

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Aber ich soll die, wenn ich es richtig verstanden habe, "Komplexe" Faktorisieren.

Durch Substitution und pq kriege ich das nicht hin.

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Du musst ja noch Resubstituieren. Da kommt dann der komplexe Teil ins Spiel. Probier es aus.

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Diese Polynome haben keine Nullstellen

Der Fundamentalsatz der Algebra besagt, dass jedes nicht konstante Polynom im Bereich der komplexen Zahlen mindestens eine Nullstelle besitzt.

Nur deshalb lässt sich das Polynom auch in Linearfaktoren zerlegen.

Answer 1

Diese Polynome haben keine Nullstellen

In ℂ haben sie welche, d.h. Polynomdivison etc. hilft hier.