Hi, ich bin gerade an dieser Aufgabe dran. Die a) habe ich auch hinbekommen. Aber kann man die b) überhaupt lösen? es handelt sich doch um eine dreidimensionale Basis und F ist doch vierdimensional. Oder wie kan nman sich f|u vorstellen?
Aufgabe:
Gegeben sei der Endomorphismus \( f: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{4} \) aus Aufgabe 2 von Blatt 7, der gegeben ist durch Multiplikation mit der Matrix \( F=\left(\begin{array}{cccc}1 & 0 & 1 & 3 \\ 5 & -2 & 6 & 5 \\ -3 & 0 & -3 & -3 \\ 5 & 0 & 6 & 3\end{array}\right) \)
Dort wurde \( \mathbb{R}^{4} \) zerlegt in \( \mathbb{R}^{4}=U_{1} \oplus U_{2} \) mit \( f \) -invarianten Unterräumen \( U_{1}=L\left(b_{1}, b_{2}\right) \) und \( U_{2}=L\left(b_{3}, b_{4}\right), \) wobei \( b_{1}=e_{2}, b_{2}=e_{1}-e_{4}, b_{3}=-e_{1}+e_{3}, b_{4}=e_{2}+e_{4} . \) Der Raum \( U_{2} \) ist \( f \) -zyklisch, da \( f\left(b_{3}\right)=b_{4} . \) Sei nun \( U:=L\left(b_{1}, b_{3}, b_{4}\right)=L\left(b_{1}\right) \oplus U_{2} \) und \( u:=b_{1}+b_{3} \in U \)
(a) Zeigen Sie, dass \( C:=\left(u, f(u), f^{2}(u)\right) \) eine Basis von \( U \) ist. (Es gibt also ein \( u \in U \) mit \( U=W(u) . \) In diesem sinne ist \( U \) ein \( f \) -zyklischer Raum.
(b) Berechnen Sie die Matrixdarstellung von \( f_{\mid U} \) bzgl. der Basis \( \left(f^{2}(u), f(u), u\right) \) von \( U \)
