Nach wie viel Stunden vermehrt sich die Kultur auf das 16fache?

Question

Aufgabe:

\( f(t)=f(0) * 2^{t / 3} \)

Nach wie viel Stunden vermehrt sich die Kultur auf das 16fache?

Vielen Dank für eure Antworten :)

Answer 1

Aloha :)

Das 16-fache bedeutet \(f(t)=16f(0)\). Das heißt:

$$\left.16f(0)=f(0)\cdot2^{t/3}\quad\right|\quad:f(0)$$$$\left.16=2^{t/3}\quad\right|\quad16=2^4$$$$\left.2^4=2^{t/3}\quad\right|\quad\ln(\cdots)$$$$\left.4=t/3\quad\right|\quad\cdot3$$$$\left.t=12\quad\right.$$Nach 12 Stunden hat sich die Kultur auf das 16-fache vermehrt.

Comments

Vielen Dank für deine Antwort :)

Ich verstehe, aber noch nicht ganz wie du den Schritt nach 2^4 = 2t/3 ausrechnest. Müsste das nicht eigentlich ln(2)*4 =ln(2)*t/3 heißen?

Vielen Dank für deine Antwort :)

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Ich habe einfach mit den Expoenten weiter gerechnet:

$$\left.2^4=2^{t/3}\quad\right|\quad\ln(\cdots)$$$$\left.4\ln(2)=\frac{t}{3}\ln(2)\quad\right|\quad:\ln(2)$$$$\left.4=\frac{t}{3}\quad\right.$$

Answer 2

Rechne doch mal ein paar Werte aus, bei denen man nicht gross Bruchrechnen oder Wurzeln ziehen muss. Bsp.

f(3) = f(0) * 2^1 = 2 * f(0)

f(6) = f(0) * 2^2

f(9) = f(0) * 2^3

f(12) = f(0) * 2^4

usw.

Fazit

t ist 12

t/3 ist 4

und 2^4 ist 16

Als Gleichung

2^(t/3) = 16

Nun am einfachsten 16 als Zweierpotenz hinschreiben

2^(t/3) = 2^4        | Exponentenvergleich

t/3 = 4

t = 12 , fertig.

Umständlicher

2^(t/3) = 16         | ln

ln (2^(t/3)) = ln(16)

t/3 * ln(2) = ln(16)

t/3 = ln(16) / ln(2)

t = 3 * (ln(16) / ln(2))

Und nun kannst du deinen Taschenrechner auf Genauigkeit testen.