a) xn=(an-nk) / (an+nk) mit a∈ℝ, a>0,k∈ℤ
Wie es dort steht hat es keinen Definierten Grenzwert. Wenn a > 1 wäre, dann wüsste ich das die Exponentialfunktion für große n viel größer wird als die Potenz. Damit geht der Ausdruck gegen 1, weil ich die Potenz vernachlässigen kann. Besonders deutlich wird es wenn man k <= 0 setzt.
ist allerdings 0 < a < 1 denn geht a^n sehr schnell gegen Null und wird viel kleiner als n^k. Damit kann ich das a^n vernachlässigen und dort steht -n^k/n^k was eindeutig gegen -1 geht.
Wenn jetzt a = 1 ist und k = 0 wird, hat der ganze Term sogar als Grenzwert 0. Wäre k hier größer 0 geht das ganze wieder gegen -1 und wäre k < 0 geht das ganze wieder gegen 1.
Letztendlich gibt es also hier keinen festen Grenzwert bei den gegebenen Werten.
b) xn= [Wurzel(1+an)-1] / an
Der Ausdruck irritiert etwas, weil an hier ja überhaupt nicht definiert ist. Sollte dort eventuell statt xn = lieber an+1 = stehen?
Dann würde ich annehmen das es ein Grenzwert gibt der sich nicht mehr Verändert.
Damit kann ich schreiben
a = (√(1 + a) - 1)/a
a^2 = √(1 + a) - 1
a^2 + 1 = √(1 + a)
a^4 + 2a^2 + 1 = 1 + a
a^4 + 2a^2 - a = 0
a(a^3 + 2a - 1) = 0
Das wäre einmal möglich wenn a = 0 ist. Allerdings ist der Ausdruck für a = 0 nicht definiert weil ich durch 0 teile.
Dann wäre noch
a^3 + 2a - 1 = 0
Dort bekommen wir eine Lösung für
a = 0,4533976515
c) an+1= Wurzel(1+an)
Wenn ich hier annehme das es einen Grenzwert gibt kann ich sagen
a = Wurzel(1 + a)
a^2 = 1 + a
a^2 - a - 1 = 0
Das würde zwei Lösungen geben
a = 1.618033988 = ((√5 + 1)/2) ∨ a = -0.6180339887
Die negative Lösung kann ich ausschließen weil wenn ich das für an einsetze ist an+1 sicher positiv. Also kommt als Grenzwert nur 1.618 in Frage.
Monotonie könnte ich zeigen indem ich sage:
an+1 > an
√(1 + a) > a
1 + a > a^2
a^2 - a - 1 < 0
-0.6180339887 < a < 1.618033988
oder
an+1 < an
√(1 + a) < a
1 + a < a^2
a^2 - a - 1 > 0
a < -0.6180339887 ∨ a > 1.618033988
Wobei auch hier die negative Lösung fortfallen muss.
