Question

Bestimmen Sie die kleinste vierstellige Dezimalzahl x ∈ N, für die 33*x − 1 durch
200 teilbar ist.

Kann mir jemand bei der Aufgabe weiterhelfen..?

Vielen Dank im Voraus !

Comments

Hallo,

es sollte also ein k existieren, so dass

$$33x-1=200k \iff 33x-200k=1.$$

Dies lässt sich mit dem verallgemeinerten Euklidischen Algorithmus zur Bestimmung des ggT bearbeiten.

Gruß

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Kann ich den Ansatz bei jeder beliebigen Zahl benutzen ? Z.b. Wenn statt -1 eine 3 wäre. Rein provisorisch.

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Ja, allerdings kann es passieren, dass es keine Lösung gibt.

Answer 1

Wir suchen also das kleinstmögliche $x\in\mathbb{N}$, sodass $x\geq 1000$ und sodass ein $k\in\mathbb{Z}$ existiert mit $200k=33x-1$.

Umstellen der Gleichung ergibt $x=\frac{200k+1}{33}$, sieht mit einer Gleichung und zwei Unbekannten erstmal doof aus, aber wir wissen ja, dass dieser Ausdruck für $x$ eine ganze Zahl ergeben muss, das bedeutet $200k+1$ muss ein Vielfaches von $33$ sein. Auflösen dieser modularen Gleichung ist sehr einfach in diesem Fall:

$200k+1\equiv 0 \mathrm{\ mod\ } 33$

$\iff 2k+1\equiv 0 \mathrm{\ mod\ } 33$ (da $2\equiv 200 \mathrm{\ mod\ } 33$)

$\iff 2k\equiv 32 \mathrm{\ mod\ } 33$ (da $-1\equiv 32 \mathrm{\ mod\ } 33$)

$\iff k\equiv 16 \mathrm{\ mod\ } 33$

$\iff k = 16+33l$ für ein $l\in\mathbb{Z}$.

Die Zahlen, die die Teilbarkeitsbedingungen erfüllen, sind also genau die Zahlen der Form $x=\frac{200(16+33l)+1}{33}$ für ein $l\in\mathbb{Z}$. Jetzt müssen wir nurnoch das kleinste $l$ finden, sodass $\frac{200(16+33l)+1}{33}\geq 1000$. Diese Ungleichung ist schnell gelöst und ergibt $l\geq \frac{903}{200}=4.515$, und $l=5$ ist also das kleinste $l$, sodass $x\geq 1000$. Einsetzen in den oberen Ausdruck ergibt $x=1097$ und das ist unsere Lösung. Probe: $33\cdot 1097-1=36200$ ist durch $200$ teilbar und man kann mit einem Computerprogramm einfach prüfen, dass alle kleineren Zahlen über $999$ die modulare Gleichung nicht erfüllen.