Wie kann ich die Maximalstelle bestimmen?

Question

Wie kann ich die Maximalstelle finden?

Ich habe eine Frage nach dem folgenden Problem.

Bestimmen Sie alle lokalen Maximalstellen der Funktion \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \), gegeben durch
$$ f(x, y):=x \cdot y-\frac{2}{1+x^{2}+y^{2}} $$
Besitzt \( f \) auch eine globale Maximalstelle oder eine globale Minimalstelle? Die Antwort ist zu begründen.

Ich habe versucht, die lokalen Maximalstelle zu bestimmen. Aber ich habe leider nur lokales Minimum herausbekommen.

Ich habe nur eine Nullstelle (0,0) gefunden.

Nach Hessen-Matrix kommt es positv-definit heraus, deswegen ist es sowohl lokales Minimum als auch globales.

Aber ich habe keine Maximalstelle gefunden.

Oder habe ich falsch gerechnet? Die zweite Ableitung ist ja sehr aufwendig und kompliziert, also ich kann wahrscheinlich verrechnet habe.

Ich hoffe auf Ihre Antwort und Hilfe.

viele Grüße

Comments

Hallo,

aus grad f(x,y) = (0,0) folgt zwar in der Tat (0,0), aber auch (-1/√2,1/√2) und (1/√2, -1/√2).

Es gibt weder ein globales Maximum noch ein globales Minimum.

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Danke für Ihre Antwort.

Ich habe schon

grad f(x,y)= ( y+\( \frac{4x}{(1+x^{2}+y^{2})^{2}} \), x+\( \frac{4y}{(1+x^{2}+y^{2})^{2}} \) )

→  \( \frac{y}{x} \)＝-\( \frac{4}{(1+x^{2}+y^{2})^{2}} \), und \( \frac{x}{y} \)＝-\( \frac{4}{(1+x^{2}+y^{2})^{2}} \).

→  \( \frac{y}{x} \)＝ \( \frac{x}{y} \) ⇔ y= ±x

Dann habe ich ±x in \( \frac{y}{x} \)＝-\( \frac{4}{(1+x^{2}+y^{2})^{2}} \) eingesetzt und kommt es nur 4x²+4x⁴＝-5 heraus.

Also ich habe nicht (-1/√2,1/√2) und (1/√2, -1/√2).

Wo habe ich falsch gerechnet?

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Im letzten Schritt hast Du anscheinend das Minus von \(\pm\) verloren.

Gruß

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vielen Dank!

Answer 1

f(x, y) = x·y - 2/(1 + x^2 + y^2)

grad f(x, y) = [4·x/(x^2 + y^2 + 1)^2 + y, 4·y/(x^2 + y^2 + 1)^2 + x] = [0, 0]

Ich komme dabei auf die Lösungen: (x = - √2/2 ∧ y = √2/2) ∨ (x = √2/2 ∧ y = - √2/2) ∨ (x = 0 ∧ y = 0)

f''(0, 0) = [4, 1; 1, 4]

f''(- √2/2, √2/2) = [0, 2; 2, 0]

f''(√2/2, -√2/2) = [0, 2; 2, 0]

Wenn du y = x einsetzt

4·x/(x^2 + x^2 + 1)^2 + x = 0 → x = 0

Wenn du y = -x einsetzt

4·x/(x^2 + (-x)^2 + 1)^2 + (-x) = 0 --> x = - √2/2 ∨ x = √2/2 ∨ x = 0

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Vielen Dank!