LGS Vektorprodukt Herleitung

Question

Lösen Sie allgemein:
a1x1 + a2x2 + a3x3 = 0
b1x1 + b2x2 + b3x3 = 0
Gesucht: x1, x2, x3:
Es gibt unendlich viele Lösungen. Es läuft darauf hinaus zu zeigen, wie die Regel für das Bilden eines Vektorproduktes entsteht. a1, a2, a3 und b1, b2, b3 sind die Vektorkoordinaten von zwei Vektoren und x1, x2, x3 sind die gesuchten Vektorkoordinaten des Vektors, der jeweils senkrecht zu den anderen beiden steht.

Ich weiß was rauskommen soll, das ist
x1 = a2b3 - a3b2
x2 = a3b1 - a1b3
x3 = a1b2 - a2b1

Aber ich krieg das nicht gebacken! Probiert habe ich den Ansatz über das Gaußverfahren.

 a1 a2 a3 0 I
b1 b2 b3 0 II
b1*I -a1*II
a1b1 a2b1 a3b1 0
-a1b1 -a1b2 -a1b3 0
I+II
a1b1 a2b1 a3b1 0
0 a2b1-a1b2 a3b1-a1b3 0
Und jetzt? Komme ich so überhaupt zur Lösung?
Und jetzt? Komme ich so überhaupt zur Lösung?

Answer 1

Ich ergänze man zunächst das LGS indem ich x+y+z auf eins normiere.

x + y + z = 1
a·x + b·y + c·z = 0
d·x + e·y + f·z = 0

II - c*I, III - f*I

x·(a - c) + y·(b - c) = -c
x·(d - f) + y·(e - f) = -f

(e - f)*I - (b - c)*II

x·(a·(e - f) + b·(f - d) + c·(d - e)) = b·f - c·e
x = (b·f - c·e)/(a·(e - f) + b·(f - d) + c·(d - e))

x·(d - f) + y·(e - f) = -f

(b·f - c·e)/(a·(e - f) + b·(f - d) + c·(d - e))·(d - f) + y·(e - f) = -f
y = (c·d - a·f)/(a·(e - f) + b·(f - d) + c·(d - e))

(b·f - c·e)/(a·(e - f) + b·(f - d) + c·(d - e)) + (c·d - a·f)/(a·(e - f) + b·(f - d) + c·(d - e)) + z = 1
z = (a·e - b·d)/(a·(e - f) + b·(f - d) + c·(d - e))

Uns fällt auf das die Nenner hier gleich sind. Nun kann ich aber beliebige vielfache des Vektors nehmen. Das ändert nichts daran das er senkrecht auf den anderen Vektoren steht.Also multipliziere ich alle mit dem Hauptnenner

x = (b·f - c·e)
y = (c·d - a·f)
z = (a·e - b·d)

Setzt mal hier deine Bezeichnungen für die Vektoren ein.