Beweis Komplement von Komplement

Question

Aufgabe:Zu Beweisen, dass das Komplement eines Komplementes wieder die ursprüngliche Menge ergibt, also:

(A^C)^C=A

weiss aber nicht wie ich mich da anstellen soll.

Answer 1

$$\text{Sei U ein Universum. Dann gilt für } A\subseteq U \text{ dass } A^C = U\setminus A =\{x\in U, x\notin A\} \text{.}$$

$$\text{Damit folgt } (A^C)^C = U\setminus (U\setminus A) = \{x\in U, x\notin \{y\in U, y\notin A\}\} \text{.}$$

$$\text{Sei } x\in (A^C)^C \Leftrightarrow x\in U \wedge x\notin \{y\in U, y\notin A\} \Leftrightarrow x\in U \wedge (x\notin U \vee x\in A)$$

$$\Leftrightarrow (x\in U \wedge x\notin U) \vee (x\in U \wedge x\in A) \\\Leftrightarrow f\vee (x\in U \wedge x\in A) \Leftrightarrow x\in U \wedge x\in A$$

$$\text{Damit folgt aus } x\in (A^C)^C \text{, dass } x\in U \wedge x\in A \text{, mit } \\A\subseteq U \text{ also auch } x\in A \text{, insgesamt hier also } (A^C)^C\subseteq A \text{.}$$

$$\text{Analog folgt aus } x\in A\subseteq U \text{, dass } x\in A \wedge x\in U \\\text{also nach obigen Äquivalenzen auch }\\ x\in (A^C)^C\text{. Es folgt also ebenfalls } A\subseteq (A^C)^C \text{, und damit } A=(A^C)^C \text{.} $$