Vektorgeometrie Kugel Aufgabe

Question

Hallo :-) folgende Frage : Die Kugel k :x^2 +y^2+z^2+6*y -10*z-135=0 ist gegeben . Bestimme den Mittelpunkt und den Radius des Spurkreises in der xy-Ebene
Danke

Answer 1

x^2 + y^2 + 6*y + z^2 - 10*z = 135

x^2 + y^2 + 6*y + 9 + z^2 - 10*z + 25 = 135 + 9 + 25

(x - 0)^2 + (y + 3)^2 + (z - 5)^2 = 169 = 13^2

Mittelpunkt ist M(0, -3, 5)

Radius ist 13

Abstand des Mittelpunktes von der x-y-Ebene ist 5

Für den Radius des Spurkreises gilt √(13^2 - 5^2) = 12

Comments

Günstig wäre es für dich dir das ganze mal mit einer Skizze zu verdeutlichen.

Answer 2

Der Spurkreis einer Kugel in der xy-Ebene sind alle Punkte, die den Rand der Kugel ausmachen und gleichzeitig in der xy-Ebene liegen. Die Ebenengleichung der xy-Ebene in der Normalform ist z = 0.

Also erhält man zwei Gleichungen:   x² +y²+z²+6*y -10*z-135=0,

                                                       und:   z = 0              

Ineinander eingesetzt: x² +y²+0²+6*y -10*0-135=0

Daraus folgt:              x²+y²+6*y-135= 0.

Dies ist die Gleichung deines Spurkreises.

Zur Ermittlung des Mittelpunktes und des Radius musst du sie in Normalform bringen: (quadratische Ergänzung)

                         x²+(y+3)²-9-135=0

             also:   x ²  + (y+3)² = 144       

Jetzt kannst du deine gesuchten Größen einfach ablesen: R = 12, M(0; -3; 0)