Aufgabe:
Bestimmen Sie alle Lösungen z ∈ ℂ der Gleichung
z9+ 8*\( \sqrt{2} \) z6 + 64* z3 =0
Problem/Ansatz:
Hätte jemand Zeit und könnte einer mit mir die Aufgabe Step by Step durchgehen?
Ich danke schonmal im Voraus :)
Lautet die Aufgabe wirklich so?
Es ist ungewöhnlich, dass in der Mitte z^1 steht und rechts z^3. Vermutung: in der Mitte steht z^6. Dann ist es analytisch lösbar.
ICH DANKE DIR !!!
Hallo,
gesucht sind also die Wurzeln von \(z^9+8\sqrt{2}z^6+64z^3=0\). Substituiere \(t:=z^3\), dann reduziert sich das Polynom zu \(t^3+8\sqrt{2}t^2+64t=0\). Da Körper und damit \(\mathbb{C}\) nullteilerfrei sind, gilt nach Ausklammern von \(t\):$$t(t^2+8\sqrt{2}t+64)=0 \Leftrightarrow t=0 \, \vee \, t^2+8\sqrt{2}t+64=0$$ Auf das rechte Polynom wendest du nun die \(pq\)-Formel an:$$t_{1,2}=-4\sqrt{2}\pm \sqrt{32-64}=-4\sqrt{2}\pm \sqrt{-32}=-4\sqrt{2}\pm 4i\sqrt{2}=\sqrt{2}(-4\pm 4i)$$ Nun musst du noch resubstituieren. Es gilt \(z^3=t_1\) oder \(z^3=t_2\).
Danke für de schnelle Antwort. Soweit habe ich alles verstanden.
Wir sollen nun das Polynom nur leider nicht mit dem Computer lösen sondern selbst mit den Formeln w=x+yi oder zk =\( \sqrt[n]{r} \) * (cos (\( \frac{φ+2*π*k}{n} \) )+i* sin (\( \frac{φ+2*π*k}{n} \) )
irgendwie berechnen.
kannst und verstehst du das?
und ich hatte in der Aufgabenstellung ausversehen einen Fehler gemacht,
Dann wäre die Lösung soweit z(z8+8*\( \sqrt{2} \) z5+64*z2)=0 richtig?
das sieht mir ganz nach einer expliziten Darstellung für die n-te Einheitswurzel aus. Du hast die Frage nun erfolgreich verändert, damit ändert sich auch meine Antwort. Einen Moment.
Die Antwort wurde der neuen Frage angepasst.
Danke dir, ich bin nun bei dem Schritt stehen geblieben, wo aus -4\( \sqrt{2} \) ±\( \sqrt{-32} \) = -4 \( \sqrt{2} \) ± 4*i\( \sqrt{2} \) wurde.
könntest du mir das i erklären?
\(i^2:=-1\), d. h. es gilt:$$\sqrt{-32}=\sqrt{-1\cdot 32}=\sqrt{-1}\cdot \sqrt{32}=\sqrt{-1}\cdot \sqrt{2\cdot 16}=\sqrt{-1}\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{16}=4i\sqrt{2}$$
Danke, habs soweit verstanden. Ich google mich mal eben durch was resubstituieren bedeutet :)
Ups, was resubstituieren bedeutet, hötte mir klar sein sollen,aber wie resubstituert man i ?
Du hast zum einen \(z^3=\sqrt{2}(-4+4i)\) und zum anderen \(z^3=\sqrt{2}(-4-4i)\). Schreibe die komplexe Zahl in Exponentialform um und ziehe die dritte Wurzel.
Ich bin jetzt soweit gekommen, das z3=r*(cos(φ))+i*sin(φ) ist.
Nun stellt sich mir die frage, was ist r?
und was setzt man in i ein? Oder bleibt i =i?
Mach ich, danke
Wäre das so richtig?
die Umformungen oben verstehe ich nicht. \(z^3\) ist auf keinen Fall gleich \(\sqrt{64}=8\). Das ist der Betrag der komplexen Zahl. Das, was du unten geschrieben hast, sieht ganz gut aus.
Das ist aber ein grober Fehler.
Auf die √(64) bin ich gekommen, indem ich r ausgerechnet habe..
Wie macht man das denn richtig? :)
Ja, das stimmt. Aber √64=8
Ich danke dir vielmals für deine Hilfe zu der Aufgabe heute :)
Die Aufgabe wäre dann nun vollständig gelöst, richtig? :)
Vergiss die Lösung z=0 nicht!
Also hat die Gleichung 4 Lösungen, richtig?
z^9+ 8 √2 z^6 + 64* z^3 =0
z^3( z^6+ 8 √2 z^3 + 64) =0
---->Satz vom Nullprodukt
z1,2,3=0
----->
z^6+ 8 √2 z^3 + 64 =0
v=z^3
v^2 + 8 √2 v + 64 =0 -->pq-Formel
v1.2= -4 √2 ± √ -32
v1,2= -4 √2 ± i 4 √2
Resubstituieren nicht vergessen
könntest du bitte vielleicht auch nochmal oben in den Kommentaren gucken, ob das so richtig ist?
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