Hallo,
... deren Graph den Scheitelpunkt (3 | 2) hat und durch den Punkt (2|4) verläuft.
die Scheitelpunktform einer Parabel lautet $$f(x) = a(x-x_s)^2 + y_s$$Da die Position des Scheitelpunkts \((x_s; y_s) = (3;2)\) bereits bekannt ist, braucht man nur noch den Punkt \((2;4)\) in die Gleichung einzusetzen, um den Faktor \(a\) zu bestimmen:$$\begin{aligned} f(2) = a (2 - 3)^2 + 2 &= 4 \\ a + 2 &= 4 \\ a & = 2\end{aligned}$$Die vollständige Gleichung lautet also$$f(x) = 2(x-3)^2 + 2 = 2x^2 -12x +20$$
~plot~ 2x^2-12x+20;{3|2};{2|4};[[-3|9|-1|8]] ~plot~
Der Plot zeigt, dass die Lösung Sinn macht.
...deren Graph an der Stelle 4 einen Extremwert besitzt und deren Tangente im Kurvenpunkt (1| 4) zu der durch die Gleichung g : y = 4x gegebenen Geraden g parallel verläuft.
Die allgemeine Gleichung einer Parabel und deren Ableitung lautet$$\begin{aligned} f(x) &= ax^2 + bx + c \\ f'(x) &= 2ax + b\end{aligned}$$Aus der Aufgabenstellung folgt$$\begin{aligned}f'(4) = 2a \cdot 4 + b &= 0 \\ f(1) = a\cdot 1^2 + b \cdot 1 + c &= 4 \\ f'(1) = 2a \cdot 1 + b&= g' = 4\end{aligned}$$das ist ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und drei Unbekannten und der Lösung $$a = -\frac 23, \quad b = \frac {16}3, \quad c = - \frac 23$$
~plot~ {1|4};x=4;4x;(-2x^2+16x-2)/3;[[-2|10|-2|12]] ~plot~
.. sieht auch richtig aus.
