Es geht um folgende Funktion aus der die Fourierreihe berechnet werden soll:
\( f(x)=|x|(\pi-|x|) \)
mit
\( a_{0}=\frac{1}{3} \pi^{2} \)
und
\( a_{n}=-\frac{2}{n^{2}}\left[(-1)^{n}+1\right] \)
$$ F\left(x\right)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\:a_n\cdot cos\left(nx\right)=\frac{\pi ^2}{6}+\sum \:_{n=1}^{\infty \:}\:\frac{-2}{n^2}\left(\left(-1\right)^n+1\right) \cdot \:cos\left(nx\right) \:$$
Es muss allerdings gelten: \( \:n=2k+1 \), da sonst \( a_n=0 \)
(a) Setzen Sie g geeignet zu einer Funktion g : [−π, π] → R so fort, dass sich g als Sinusreihe darstellen lässt
(b) Zeigen Sie, dass \( g\left(x\right)=\frac{\pi }{8}\sum _{n=0}^{\infty }\:\frac{sin\left(\left(2k+1\right)x\right)}{\left(2k+1\right)^3} \)
Problem/Ansatz:
(a) Wie kann ich den Cosinus in den Sinus umwandeln? Mein Ansatz wäre einfach ein \( \frac{\pi }{2} \) in den Cosinus einzusetzen, sodass:
$$F\left(x\right)=\frac{\pi \:^2}{6}+\sum \:\:_{k=1}^{\infty \:\:}\:\frac{-2}{\left(2k+1\right)^2}\left(\left(-1\right)^{2k+1}+1\right)\cdot \:\:sin\left(\left(2k+1\right)x+\frac{\pi }{2}\right)\:$$
(b) Bei der b) weiß ich leider nicht so recht wie ich dass dann zeigen kann. Am Ende werde ich versuchen müssen die Summe von k=1 bis unendlich auf k=0 bis unendlich zu bringen. Weiß aber nicht wie ...
