Prüfen Sie, ob das Dreieck einen rechten Winkel hat.

Question

Aufgabe: Prüfen Sie, ob das Dreieck einen rechten Winkel hat.

a) A(1/-2/2) B(3/2/1) C(3/0/3)

Problem/Ansatz:

Ich weiß, dass ich hier mit dem Satz des Pythagoras arbeiten soll, verstehe aber nicht ansatzweise wie ich die Aufgabe angehen soll.

Answer 1

Aloha :)

In einem rechtwinkligen Dreieck gilt stets der Satz des Pythagoras. Daher berechnen wir zur Prüfung zunächst die Seitenlängen des Dreiecks:

$$a=\overline{BC}=\left\|\begin{pmatrix}3\\0\\3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}\right\|=\left\|\begin{pmatrix}0\\-2\\2\end{pmatrix}\right\|=\sqrt{0+4+4}=\sqrt8$$$$b=\overline{AC}=\left\|\begin{pmatrix}3\\0\\3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}\right\|=\left\|\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}\right\|=\sqrt{4+4+1}=\sqrt9$$$$c=\overline{AB}=\left\|\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}\right\|=\left\|\begin{pmatrix}2\\4\\-1\end{pmatrix}\right\|=\sqrt{4+16+1}=\sqrt{21}$$Wir prüfen, ob der Satz des Pythagoras gilt:$$(\sqrt8)^2+(\sqrt9)^2\stackrel{?}{=}(\sqrt{21})^2$$$$8+9\stackrel{?}{=}21$$$$17\stackrel{?}{=}21\quad\text{FAIL}$$Der Satz des Pythagoras gilt nicht, also ist das Dreieck nicht rechtwinklig.

Comments

Auf die Wurzeln kann verzichtet werden, denn beim rechtwinkligen Dreieck muss ja das größte Skalarprodukt gleich der Summe der beiden anderen sein.

Hier,

da 8+9 ≠ 21,

ist es nicht rechtwinklig.

Answer 2

a) A = [1, -2, 2] ; B = [3, 2, 1] ; C = [3, 0, 3]

Richtungsvektoren und deren Länge bilden

AB = B - A = [3, 2, 1] - [1, -2, 2] = [2, 4, -1]

|AB| = |[2, 4, -1]| = √(2^2 + 4^2 + 1^2) = √21

Genauso jetzt weiterrechnen

|AC| = √9 = 3

|BC| = √8

Gilt jetzt √9^2 + √8^2 = √21^2 ?

Da das nicht gilt ist das Dreieck auch nicht rechtwinklig.