Woher weiß ich verschiedene Werte bei Gleichungen?

Question

Aufgabe:

Für welche Werte von d hat die Gleichung (x-4)²=d keine, genau eine bzw. zwei Lösungen?

Problem/Ansatz:

Wie bzw. woher weiß man das ohne alle möglichen Zahlen einzusetzen? Gibt es da eine Regel?

Answer 1

(x-4)^2 =d

x^2-8x+16-d=0

pq-Formel: Diskriminante muss größer/gleich Null sein (zwei Lösungen)

-> 4^2-(16-d) >=0

16-d <=16

d>=0

--> d<0 (keine Lösung)

d= 0 (eine Lösung)

Man kann die Lösung aber auch ablesen: (x-4)^2 ist immer größer/gleich Null (Quadrat ist nie negativ)

Answer 2

(x-4)² =d auf beiden Seiten die Wurzel ziehen:

x-4=±√d

d>0 für jede Wahl von d zwei Lösungen: x_1/2=4±√d.
d<0 (keine reelle Lösung)
d= 0 (eine Lösung: x=4)

Answer 3

Die linke Seite ist gleich Null oder positiv.

d<0 Keine Lösung

d=0 Eine Lösung, x=4

d>0 Zwei Lösungen

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PS: Es geht um reelle Lösungen. Bei komplexen Zahlen gäbe es immer zwei Lösungen.