Definition Kubikwurzel - Nur für positive Zahlen?

Question

Liebe Lounge,

ich habe eine Frage zu einem wahrscheinlich schon sehr häufig besprochenen Thema. Allerdings bin ich bislang noch nicht mit mir im Reinen, was die Antworten angeht.

Es geht um die Kubikwurzel und um die Frage, ob Sie für negative Zahlen definiert ist oder nicht.

Speziell geht es mir und die Frage:

Es sei die Gleichung x³ = -8

Darf man jetzt einen Äquivalenzpfeil schreiben und dahinter 3. Wurzel? oder nicht? Ich würde sagen nein, da man ja dann die Wurzel auf -8 anwendet, was ja nicht definiert ist (nach meinem Wissensstand), da es mit Potenzgesetzen dann Probleme gibt.

Ist es alles eine Frage davon, welche Definition man letztendlich benutzt? Also ob man sagt, es ist nur für R+ definiert?

Danke für eure Antwort!

Answer 1

Aloha :)

Wurzeln aus negativen Zahlen sind in \(\mathbb R\) grundsätzlich nicht definiert. Mit "grundsätzlich" meine ich, dass einige Professoren und Taschenrechner das fälschlicherweise doch tun.

Wenn man Wurzeln aus negativen Zahlen zulässt, gelten die Potenzgesetze nicht mehr. Wäre in deinem Fall \(\sqrt[3]{-8}=-2\), erhältst du mit den Potenzgesetzen folgenden Widerspruch:$$-2=\sqrt[3]{-8}=\sqrt[6]{(-8)^2}=\sqrt[6]{64}=2$$Wenn du Wurzeln aus negativen Zahlen bestimmen willst, musst du zu den komplexen Zahlen \(\mathbb C\) wechseln.

Comments

Hallo Tschakabumba,

deine Antworten schätze ich sehr; in diesem Falle widerspreche ich aber:

Die Definition von Wurzeln aus negativen Zahlen ist nicht falsch, sondern allenfalls ungünstig.

Die Potenzgesetze werden durch eine solche Definition nicht falsch; sie lassen sich nur i.A. nicht auf Wurzeln aus negativen Zahlen verallgemeinern.

Im Beispiel kannst du das Potenzgesetz

Für alle natürlichen Zahlen \(n,m\neq0\) und alle reellen Zahlen \(x\ge0\) gilt \(\sqrt[n]{x}=\sqrt[nm]{x^m}\).

gar nicht anwenden, da nicht \(-8\ge0\) gilt.

Der Fehler liegt also hier weder in der Definition mancher Professoren, noch im Potenzgesetz, sondern in deinem Versäumnis, die Voraussetzungen des Potenzgesetzes vor Anwendung zu prüfen.

, Tobias

Answer 2

Da steht ja eine Gleichung 2-ten Grades. Und da immer \( x^2 \ge 0 \) gilt, hat die Gleichung keine Lösung. Stände da \( x^3 = -8 \) gäbe es eine Lösung, nämlich \( x = -2 \) weil \( (-2)^3 = -8 \) gilt.

Answer 3

Der Exponent soll wohl eine 3 sein.

Unter einer Wurzel darf keine negative Zahl stehen, auch wenn einige Taschenrechner das zulassen.

x^3=-8 hat natürlich die Lösung -2, aber das ist nicht die Kubikwurzel.

Die Quadratwurzel ist auch immer die positive Zahl.

:-)

Answer 4

Hallo Kombinatrix!

Ich nehme mal einen logischen Standpunkt ein, der völlig davon abstrahiert, ob das Vorgehen zum Lösen der Gleichung nützlich ist oder nicht. Weiterhin nehme ich für diese Antwort an, dass Wurzeln nur von nichtnegativen Zahlen definiert sind.

Dann impliziert die (widersprüchliche) Situation \(x^2=-8\) für eine reelle Zahl \(x\), dass \(-8=x^2\ge0\) und somit, dass wir die dritte Wurzel aus \(-8\) bilden können. Weiter erhalten wir in dieser Situation \(\sqrt[3]{x^2}=\sqrt[3]{-8}\).

Also gilt für alle reellen Zahlen \(x\):

$$x^2=-8\implies -8\ge0\wedge\sqrt[3]{x^2}=\sqrt[3]{-8}$$

Umgekehrt impliziert \(-8\ge0\) gemäß "ex falsum quodlibet" auch \(x^2=-8\). Somit erhalten wir insgesamt für alle reellen Zahlen \(x\):

$$x^2=-8\iff -8\ge0\wedge\sqrt[3]{x^2}=\sqrt[3]{-8}$$.

, Tobias

Comments

Sorry, es sollte x³ heißen...

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Nun, es gilt für reelle Zahlen \(x\) die Äquivalenz

$$x^3=-8\iff x=-2$$.

Aus \(x^3=-8\) können wir jedoch nicht auf \(\sqrt[3]{x^3}=\sqrt[3]{-8}\) schließen, wenn wir Wurzeln aus negativen Zahlen als nicht definiert ansehen, da in \(\sqrt[3]{x^3}=\sqrt[3]{-8}\) sowohl auf der linken als auch auf der rechten Seite (möglicherweise) undefinierte Ausdrücke stehen.