a^2≡a mod 10000 a^2 > 10^6 (die letzten 4 Ziffern sind gleich)

Question

Aufgabe:

a^2≡a mod 10000

(die letzten 4 Ziffern sind gleich)

a^2 > 10^6

Problem/Ansatz:

a^2≡a mod 10000

(die letzten 4 Ziffern sind gleich)

b^2 ≡b≡a^2≡a mod 1000

(die letzten 3 Ziffern sind gleich)

c^2 ≡c≡b^2 ≡b≡a^2≡a mod 100

(die letzten 2 Ziffern sind gleich)

Answer 1

a²≡a mod 10000
a² > 10⁶

gilt insbesondere für a=k·10⁴ und a=k·10⁴+1, k∈ℕ.

Comments

a<\( 10^{4} \)

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Oh, entschuldige, deine Antwort ist natürlich richtig aber es gibt auch ein a, dass kleiner als 10 000 ist.

Und es gibt auch noch andere Lösungen

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Ja, für a<10⁴:

1, 624, 625, 1249, 3751, 4375, 4999, 5001, 5625, 6249, 8751, 9375, 9376, 9999.

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1,624,625 <1000 erfüllen die Forderung \( a^{2} \) > \( 10^{6} \) nicht.

die Forderung kann nur erfüllt werden, wenn die Endziffer 1, 5 oder 6 ist.

bleiben übrig,

3751, 4375, 5001, 5625, 8751, 9375, 9376

davon erfüllt aber nur 9376 die Anforderung

\( 9376^{2} \) = 8790 9376

Da dies die von mir gesuchte Zahl war, ist deines die beste Antwort, wobei ich da hin und her gerissen war, denn Abakus hat mir einen sehr guten Einblick in die Theorie gegeben.

Doch es gibt außer deinen Lösungen noch unzählige Lösungen für

a>10 000

z.B. die a, für die gilt a-1 = k* 625

(siehe Abakus)

1 787 109 376 oder

 787 109 376 oder

   87 109 376 oder

      7 109 376 oder

         109 376 oder die genannte

              9 376  aber auch

die Gruppe, für die gilt a= k*625

8 212 890 625 oder

  212 890 625 oder

    12 890 625 oder

      2 890 625 oder

          890 625 oder

            90 625 

alles sehr "merkwürdige" Zahlen, so ist z.B.

\(90 625 ^{2} \) = 8212 890 625

Doch wirklich merken muss man sie sich nicht.

Answer 2

a^²≡a mod 10000 würde ich mal umformen zu

a²-a≡0 mod 10000

a(a-1)≡0 mod 10000

a(a-1) teilt 10000, wobei ja \(10000=2^4\cdot 5^4\) gilt.

Da a und (a-1) nicht gleichzeitig durch 5 teilbar sein können, ist entweder a oder (a-1) ein Vielfaches von  \( 5^4=625\).

Die Forderung a² > 10⁶ (also a<10³) schränkt die Anzahl der zu untersuchenden Möglichkeiten für a sehr ein ...

Comments

Deine Schlussfolgerung ist falsch, doch du meinst das Richtige.

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also a<1000 ist falsch,

ja, es ist das Vielfache, doch welche Eigenschaft hat k .

Wenn die Schülerinnen und Schüler die ersten Vielfachen aufschreiben sollen, vergessen sie häufig etwas.

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\( 1250^{2} \) = 1562500

1250≠2500

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Oh entschuldige, du hast natürlich recht, für mein gesuchtes a gilt

a -1 = k *625

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Danke für deine Antwort,

ich habe dadurch einen Einblick in die Theorie bekommen.

doch da ich eine konkrete Zahl gesucht habe, und eine von Rolands Antwortmöglichkeiten war, ging die beste Wertung an ihn.

Bei meinem Kommentar zu Rolands Antwort, habe ich einige Lösungen aufgelistet.

Ich selbst bin bei 5 bzw. 6 angefangen und habe mich dann durch Ausprobieren Zehnerstelle für Zehnerstelle hoch gearbeitet.

Dabei kommen diese "merkwürdigen" Zahlen raus immer wenn ich das Quadrat gebildet hatte stand die nächste gesuchte Zahl schon da.

also \( 625^{2} \)= 3 90 625

      \(90 625^{2} \)= 8212 890 625

Das funktionierte bei 5 aber nicht bei der 6

Danke noch einmal für deine Aufmerksamkeit.

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Die Forderung a² > 10⁶ (also a<10³)

Hogar hat das zu Recht kritisiert. Richtig wäre |a|>10³ bzw.

a<-1000 oder a>1000.