Zeigen Sie, dass die Koordinaten eines jeden Vektors x \in \mathbb{R}n einzigartig sind.

Question

Aufgabe:

Sei $B=(b_1, ..., b_n )$ eine Bais von $\mathbb{R}^n$. Zeigen Sie, dass die Koordinaten eines jeden Vektors $x \in \mathbb{R}^n$ einzigartig sind. Zeige, dass $$x = \sum_{i=1}^n \alpha_i* b_i = \sum_{j=1}^n \beta_j* b_j$$ folgendes impliziert $\alpha_k = \beta_k$ für $k \in \{1,...,n \}$.

Problem/Ansatz:

Also ich weiß, dass es eine einzigartige lineare Kombination von linear unabhängigen Vektoren für jeden Vektor $x \in \mathbb{R}^n$ gibt, aber wie zeige ich, dass die Skalare ein und dieselben sind? Habt ihr einen Ansatz für mich?

Answer 1

Es gelte $\displaystyle x=\sum_{k=1}^n\alpha_kb_k=\sum_{k=1}^n\beta_kb_k$. Subtraktion liefert $\displaystyle0=\sum_{k=1}^n(\alpha_k-\beta_k)b_k$. Da die $b_i$ eine Basis bilden, muss $\alpha_i-\beta_i=0$ für alle $i$ sein. Also ist $\alpha_i=\beta_i$.