Zeigen Sie, dass die Koordinaten eines jeden Vektors x \in \mathbb{R}^n einzigartig sind.

Question

Aufgabe:

Sei \(B=(b_1, ..., b_n ) \) eine Bais von \( \mathbb{R}^n\). Zeigen Sie, dass die Koordinaten eines jeden Vektors \(x \in \mathbb{R}^n\) einzigartig sind. Zeige, dass $$ x = \sum_{i=1}^n \alpha_i* b_i = \sum_{j=1}^n \beta_j* b_j  $$ folgendes impliziert \( \alpha_k = \beta_k \) für \(k \in \{1,...,n \}\).

Problem/Ansatz:

Also ich weiß, dass es eine einzigartige lineare Kombination von linear unabhängigen Vektoren für jeden Vektor \(x \in \mathbb{R}^n\) gibt, aber wie zeige ich, dass die Skalare ein und dieselben sind? Habt ihr einen Ansatz für mich?

Answer 1

Es gelte \(\displaystyle x=\sum_{k=1}^n\alpha_kb_k=\sum_{k=1}^n\beta_kb_k\). Subtraktion liefert \(\displaystyle0=\sum_{k=1}^n(\alpha_k-\beta_k)b_k\). Da die \(b_i\) eine Basis bilden, muss \(\alpha_i-\beta_i=0\) für alle \(i\) sein. Also ist \(\alpha_i=\beta_i\).