Es existiert keine Lösung mit \( 3~ | ~z \), denn angenommen \( 3~ |~ z \), dann folgt $$ 3~ | ~153 - z^2 = -2^n $$ Widerspruch.
Im Folgenden sei deshalb stets \( 3 \nmid z \). Es kann des Weiteren keine Lösung mit ungerade \( n \) existieren, denn angenommen \( n = 2k + 1 \), dann ist $$ z^2 \equiv 1 \mod (3) $$ $$ 2^n = 2^{2k+1} \equiv 2 \mod (3) $$ $$ \implies z^2 - 2^n \equiv 1 - 2 \equiv 2 \not\equiv 0 \equiv 153 \mod (3) $$ Widerspruch.
Also bleibt nur der Fall, dass \( n \) gerade ist. Sei deshalb \( n = 2k \): $$ z^2 - 2^{2k} = (z-2^k)(z+2^k) = 3 \cdot 3 \cdot 17 = 153 $$
Es gilt \( z-2^k < z+ 2^k \) und somit bleiben 3 Gleichungssysteme:
$$ z-2^k = 1, \quad z+2^k = 153 \implies 2z = 154 \implies z = 77 \implies 2^k = 153 - 77 = 76 $$ Hier gibt es keine Lösung, da 76 offensichtlich keine 2er Potenz ist.
$$ z-2^k = 3, \quad z+2^k = 51 \implies 2z = 54 \implies z = 27 \implies 2^k = 51 - 27 = 24 $$ Hier auch nicht.
$$ z-2^k = 9, \quad z+2^k = 17 \implies 2z = 26 \implies z = 13 \implies 2^k = 17 - 13 = 4 $$ Hier dann die einzige Lösung: z = 13, n = 4.
