Finde alle natürlichen Lösungen der Gleichung z2 - 2n = 153

Question

Aufgabe:

Finde alle natürlichen Lösungen der Gleichung z² - 2ⁿ = 153.

Problem/Ansatz:

Als eine Lösung habe ich z=13 und n=4 gefunden. Jetzt habe ich den Verdacht, dass es keine weiteren Lösungen gibt, kann das aber nicht beweisen. Vielleicht könnt ihr mir helfen? Vielen Dank vorab!

Kopie aus Kommentar : Es soll nicht 153!=153*152*...*2*1 heißen. Deshalb Ausrufezeichen entfernt.

Comments

Es soll nicht 153!=153*152*...*2*1 heißen.

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Sondern? Was soll es denn heissen?

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@Lu: Vielleicht ist es ein "Ausrufezeichen" oder ein "Ausrufungszeichen"?

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Scheint so. Inzwischen wurde die vorhandene Antwort mit einem Stern versehen. Ich entferne das Ausrufezeichen aus der Fragestellung.

Answer 1

Es existiert keine Lösung mit $3~ | ~z$, denn angenommen $3~ |~ z$, dann folgt $$3~ | ~153 - z^2 = -2^n$$ Widerspruch.

Im Folgenden sei deshalb stets $3 \nmid z$. Es kann des Weiteren keine Lösung mit ungerade $n$ existieren, denn angenommen $n = 2k + 1$, dann ist $$z^2 \equiv 1 \mod (3)$$ $$2^n = 2^{2k+1} \equiv 2 \mod (3)$$ $$\implies z^2 - 2^n \equiv 1 - 2 \equiv 2 \not\equiv 0 \equiv 153 \mod (3)$$ Widerspruch.

Also bleibt nur der Fall, dass $n$ gerade ist. Sei deshalb $n = 2k$: $$z^2 - 2^{2k} = (z-2^k)(z+2^k) = 3 \cdot 3 \cdot 17 = 153$$

Es gilt $z-2^k < z+ 2^k$ und somit bleiben 3 Gleichungssysteme:

$$z-2^k = 1, \quad z+2^k = 153 \implies 2z = 154 \implies z = 77 \implies 2^k = 153 - 77 = 76$$ Hier gibt es keine Lösung, da 76 offensichtlich keine 2er Potenz ist.

$$z-2^k = 3, \quad z+2^k = 51 \implies 2z = 54 \implies z = 27 \implies 2^k = 51 - 27 = 24$$ Hier auch nicht.

$$z-2^k = 9, \quad z+2^k = 17 \implies 2z = 26 \implies z = 13 \implies 2^k = 17 - 13 = 4$$ Hier dann die einzige Lösung: z = 13, n = 4.

Comments

Vielen Dank, echt top!!!

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Schöne Lösung!