Eine Rekursionsgleichung zu lösen bedeutet nur, dass du einen Ausdruck findest, der dir zu jedem n-ten Folgenglied mit einmaligem Rechenaufwand das Ergebnis liefert, ohne bis an die Anfangsbedingung gehen zu müssen, um von dort bis zum n-ten Folgenglied vorgedrungen zu sein, was viel aufwendiger ist.
Ein allgemeines Rezept, Rekursionsgleichungen zu lösen, gibt es leider nicht. Hier kann es aber nützlich sein, mal die ersten Folgenglieder ,,auszurechnen''. Dafür formt man die obiger Rekursionsgleichung etwas um:
\(T_n=\frac{1}{2}(n\cdot T_{n-1}+3\cdot n!),\quad T_0=3, \quad n\in \mathbb{N}_{\geq 1}\).
Und nun rechnet man los:
\(T_0=3\\ T_1=\frac{1}{2}\cdot (1\cdot T_0+3\cdot 1!)=\frac{1}{2}\cdot (1\cdot 3+3\cdot 1!)\\\quad=\frac{1}{2}\cdot (3\cdot 1!+3\cdot 1!)=\underline{3\cdot 1!}\\ T_2=\frac{1}{2}\cdot (2\cdot T_1+3\cdot 2!)=\frac{1}{2}\cdot (2\cdot 3\cdot 1!+3\cdot 2!)\\\quad =\frac{1}{2}\cdot (3\cdot 2!+3\cdot 2!)=\underline{3\cdot 2!}\\ T_3=\frac{1}{2}\cdot (3\cdot T_2+3\cdot 3!)=\frac{1}{2}\cdot (3\cdot 3\cdot 2!+3\cdot 3!)\\\quad =\frac{1}{2}\cdot (3\cdot 3!+3\cdot 3!)=\underline{3\cdot 3!}\)
Die Vermutung liegt also, dass \(T_n=3\cdot n!\) für alle \(n\in \mathbb{N_{\geq 0}}\) gilt, was jetzt nur noch per Induktion über \(\mathbb{N_{\geq 0}}\) zu zeigen ist.
