Lösungen eines Gleichungssystems

Question

Ich habe folgendes Gleichungssystem:

$$(1)\quad a=A\cos^2(\alpha)+B\sin^2(\alpha)$$

$$(2)\quad b=(B-A)\sin(2\alpha)$$

$$(3)\quad c=B\cos^2(\alpha)+A\sin^2(\alpha)$$
Gesucht sind die Konstanten A und B und der Winkel alpha. Die Konstanten a, b und c sind gegeben.

Wie kommt man auf die fehlenden Größen?

Ich bin auf die zwei vereinfachte Gleichungen gekommen, aber habe leider keine Ahnung wie ich noch eine (einfache) bekomme um die fehlenden Größen zu berechnen.

(1) + (3):
$$a+c=A+B$$

(2):

$$b=(B-A)\sin(2\alpha)$$

Es wäre sehr nett, wenn ich Unterstützung bekommen würde.

Answer 1

Statt alpha schreibe ich x.

Vielleicht hilft sin(2x)=2sin(x)*cos(x) weiter.

b=(B-A)*2*sin(x)*cos(x)

c-a=(B-A)cos^2(x)-(B-A)sin^2(x)

=(B-A)*(cos^2(x)-sin^2(x))

 =(B-A)*(1-2*sin^2(x))

c+a=A+B

Beide addieren:

2c=A+B+(B-A)*(1-2*sin^2(x))

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Ob das sinnvoll ist, weiß ich auch nicht. Ich probiere halt ein bisschen herum.

:-)

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PS

Ich habe die Gleichungen einmal bei Wolframalpha eingegeben. Die Lösungen sehen nicht einfach aus...

Answer 2

Hallo,

guter Ansatz. Versuche nun \(A\) und \(B\) zu eliminieren. $$\begin{aligned} a+c &=A+B && (4)\\ b&=(B-A)\sin(2\alpha) \implies \frac b{\sin(2\alpha)}  = B - A \end{aligned}$$addiere beide Gleichungen, dann fällt \(A\) raus:$$\begin{aligned} a+c + \frac b{\sin(2\alpha)} &= 2B \\ B &= \frac{a+c}2 + \frac 12 \frac b{\sin(2\alpha)} \end{aligned}$$Einsetzen in die Gleichung (4) macht das \(A\) nur von \(\alpha\) abhängig:$$\begin{aligned} a+c &=A+B &&(4) \\ \implies A &= a+c - B \\ &= a+c - \left( \frac{a+c}2 + \frac 12 \frac b{\sin(2\alpha)} \right) \\ &=\frac{a+c}2 - \frac 12 \frac b{\sin(2\alpha)}  \end{aligned} $$ \(A\) und \(B\) in Gleichung (1) einsetzen und nach \(\alpha\) isolieren$$\begin{aligned} a &=A\cos^2(\alpha)+B\sin^2(\alpha) && (1) \\  &= \left( \frac{a+c}2 - \frac 12 \frac b{\sin(2\alpha)}\right)\cos^2(\alpha)+\left( \frac{a+c}2 + \frac 12 \frac b{\sin(2\alpha)}\right) \sin^2(\alpha) \\ 2 a&= a+c  + b \frac{\sin^2(\alpha) - \cos^2(\alpha)}{\sin(2 \alpha)}  \\ \frac{a-c}{b} &= \frac{\sin^2(\alpha) - \cos^2(\alpha)}{2\sin(\alpha) \cos(\alpha)} = \frac{\tan^2(\alpha) - 1}{2 \tan(\alpha)} = \frac {-1}{\tan(2\alpha)} \\ \tan(2\alpha) &= \frac{b}{c-a} \end{aligned}$$Wenn Du nur das nummerische Ergebnis benötigst, kannst Du hier nun das \(\alpha\) berechnen und dann in die Gleichungen für \(A\) und \(B\) einsetzen.

Oder brauchst Du es allgemeiner?

Comments

Das hilft mir sehr weiter. Vielen Dank!