Zeigen Sie Konvergenz und Beschränktheit

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie die nachstehende Folge a_n in $$\mathbb{N}$$ auf Beschränktheit und Konvergenz. Berechnen Sie gegebenenfalls die Grenzwerte.

a_n:=$$\frac{2n+1}{n^2+n+1}$$

Problem/Ansatz:

Ich habe vorerst den Grenzwert bestimmt:

an=$$\frac{2n+1}{n^2+n+1} = \frac{2+\frac{1}{n}}{n+1+\frac{1}{n}}$$

$$\lim \limits_{x \to \infty}( \frac{2+\frac{1}{n}}{n+1+\frac{1}{n}}) \thickapprox \lim \limits_{x \to \infty}(2\cdot \frac{1}{n}) = 0$$

Nun habe ich die Konvergenz gezeigt (ich hoffe es ist soweit alles richtig) für die ja gelten muss ($$\forall \epsilon >0, \exists N\in \mathbb{N} ,n\geqslant N:|a_n-a|<\epsilon )$$:

$$|a_n-a| = |\frac{2n+1}{n^2+n+1}-0| = |\frac{2(n+1)-1}{(n+1)^2+n}| = \frac{2(n+1)+1}{(n+1)^2+n}$$

$$\forall n\geqslant 1: \frac{2(n+1)+1}{(n+1)^2+n}\leqslant \frac{1}{n}<\frac{1}{N}\leqslant \epsilon \Rightarrow N:=1$$

Jetzt frage ich mich nur wie ich bei der Gleichung auf die Beschränktheit komme. Also ich weiß, dass jede konvergente Folge beschränkt sein muss. Aber wie würde ich jetzt die Schranke(n) bestimmen können? Vielen Dank im voraus!

Answer 1

Nutze den Fakt, dass \((a_n)_n\) konvergiert genau dann, wenn \((a_n)_n\) monoton fällt und nach unten beschränkt ist. Damit schlägst du zwei Fliegen mit einer Klappe.

Beweisskizze:

Beschränkt, weil \(n^2≥n\) und damit:$$0\leq \left | \frac{2n+1}{n^2+n+1}\right |\leq \frac{2n+1}{n+n+1}\leq 1$$ Konvergent, weil$$a_{n+1}=\frac{2(n+1)+1}{(n+1)^2+(n+1)+1} \leq \cdots \leq \frac{2n+1}{n^2+n+1}=a_n$$

Comments

Ok das ist eine deutlich klügere Herangehensweise. Ich habe ja dann eine obere Schranke und zwar die 1. Müsste ich nicht dann um eine Konvergenz zu zeigen beweisen, dass ich eine monoton wachsende Folge habe? Oder ist das egal? Und wäre mein Beweis der Konvergenz soweit richtig? Wie würde ich vorgehen wenn ich noch nach einer unteren Schranke suchen und diese bestimmen wollen würde?

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Die Folge wächst nicht monoton. Das sieht man insbesondere daran, dass der Nenner schneller als der Zähler wächst wegen des Quadrats.

Der Quotient kann niemals negativ werden, daher ist 0 eine untere Schranke. Du zeigst also nur noch, dass \((a_n)_{n\in \mathbb{N}}\) monoton fällt, also, dass \(a_{n+1}>a_n\) für alle \(n\).

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Apropos, dein Beweis ist nicht korrekt. Der erste Schritt, der nicht richtig ist, ist folgender: $$|\frac{2(n+1)-1}{(n+1)^2+n}| = \frac{2(n+1)+1}{(n+1)^2+n}$$

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Ah ok ich sehe den Fehler. Wenn dann müsste ich das Minus rausziehen und hätte dann... $$|\frac{2(n+1)-1}{(n+1)^2+n}| = |-\frac{1-2(n+1)}{(n+1)^2+n}| = \frac{1-2(n+1)}{(n+1)^2+n}$$

Aber mir ging es eher um die Vorangehensweise und das ich die Konvergenz damit zeige indem ich ein N finde für das die Bedingung erfüllt ist.

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@rc: Könntest du eventuell den Teil „\(\leq\cdots\leq\)“ näher erläutern?

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Dies deutet an, dass einige Abschätzungen getätigt werden müssen, um \(a_{n+1}<a_n\) zu zeigen. Geht es dir um die Schritte, die getan werden müssen? Beachte, dass es sich wie erwähnt um eine Beweisskizze handelt.

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Es sieht fast so aus, als hättest du im Zähler \(2n+3\leq2n+1\) abgeschätzt.

Answer 2

Wenn du ein paar Werte ausrechnest ahnst du schon :

1 ist eine obere Schranke ( eine untere ist 0, da nix negativ ist)

also Ansatz

(2n+1)/(n^2+n+1) ≤ 1  Nenner immer positiv, also

<=>  2n+1  ≤ n^2 + n + 1

<=> 0  ≤ n^2 -n

<=> 0  ≤ n*(n-1)  gilt für alle n∈ℕ,

da beide Faktoren nie negativ.

Comments

Ok das heißt um auf eine Beschränktheit zu kommen, muss man auch manchmal einfach vermuten und dies dann versuchen zu zeigen?

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Kann manchmal sinnvoll sein