Hier eignet sich Induktion über die Dimension \(n\in \mathbb{N}_{\geq 1}\).
Induktionsanfang sollte klar sein.
Im Induktionsschritt eignet sich der Entwicklungssatz von Laplace gut. Also vom Anfang so:
\(det(A)=(-1)^{1+1}\cdot (1+x^2)\cdot \underbrace{\begin{vmatrix} 1+x^2 & x & 0 & ⋯ & 0 \\ x & 1+x^2 & x & ⋱ & ⋮ \\ 0 & ⋱ & ⋱ & ⋱ & 0 \\ ⋮ & ⋱ & x & 1+x^2 & x \\ 0 & ⋯ & 0 & x & 1+x^2 \end{vmatrix}}_{\text{nur noch }n-1\times n-1 }\\\quad +(-1)^{2+1}\cdot x\cdot \underbrace{\begin{vmatrix} x & 0 & 0 & ⋯ & 0 \\ x & 1+x^2 & x & ⋱ & ⋮ \\ 0 & ⋱ & ⋱ & ⋱ & 0 \\ ⋮ & ⋱ & x & 1+x^2 & x \\ 0 & ⋯ & 0 & x & 1+x^2 \end{vmatrix}}_{\text{nur noch }n-1\times n-1 }\\\stackrel{(IV)}{=}(1+x^2)\cdot (1+x^2+...+x^{2(n-1)})\\\quad -x\cdot \underbrace{\begin{vmatrix} x & 0 & 0 & ⋯ & 0 \\ x & 1+x^2 & x & ⋱ & ⋮ \\ 0 & ⋱ & ⋱ & ⋱ & 0 \\ ⋮ & ⋱ & x & 1+x^2 & x \\ 0 & ⋯ & 0 & x & 1+x^2 \end{vmatrix}}_{\text{nur noch }n-1\times n-1 }=...\)
Jetzt machst du nochmal dasselbe auf die noch verbliebene Determinate: Entwicklungssatz von Laplace.