Determinante einer n × n-Matrix A beweisen. det(A)=1+x^2+x^4+...+x^{2n}

Question

Zeigen Sie, dass die \(n × n\)-Matrix

\(A:=\begin{pmatrix} 1+x^2 & x & 0 & ⋯ & 0 \\ x & 1+x^2 & x & ⋱ & ⋮ \\ 0 & ⋱ & ⋱ & ⋱ & 0 \\ ⋮ & ⋱ & x & 1+x^2 & x \\ 0 & ⋯ & 0 & x & 1+x^2 \end{pmatrix}\)

die Determinante det \((A) = 1+x^2+x^4+...+x^{2n}\) hat.

Comments

A= ( \begin{pmatrix} 1+x2 & x & 0 & ⋯ & 0 \\ x & 1+x2 & x & ⋱ & ⋮ \\ 0 & ⋱ & ⋱ & ⋱ & 0 \\ ⋮ & ⋱ & x & 1+x2 & x \\ 0 & ⋯ & 0 & x & 1+x2 \end{pmatrix} \)

Answer 1

Möglicher Lösungsweg: Induktion über n.
Vorab: Die Darstellung der einzelnen Matrizen geht m.E. per Hand deutlich besser als in LaTeX, daher könnten Probleme mit der Darstellung im Folgenden auftreten. Unter "Def. Det." wird hier die Spaltenaddition verstanden. Ich empfehle eine geringe Skalierung.

Induktionsanfang (n=1, n=2 und n=3 (letztere zur Veranschaulichung)):
$$\begin{vmatrix} 1+x^2 \end{vmatrix} = 1+x^2 = \sum\limits_{i=0}^{1} x^{2i}$$
$$\begin{vmatrix} 1+x^2 & x \\ x & 1+x^2 \end{vmatrix} = -x\cdot \begin{vmatrix} x \end{vmatrix} + (1+x^2)\cdot \begin{vmatrix} 1+x^2 \end{vmatrix} = -x^2 + (1+x^2)^2 = -x^2+1+2x^2+x^4 = 1+x^2+x^4 = \sum\limits_{i=0}^{2} x^{2i}$$
$$\begin{vmatrix} 1+x^2 & x & 0 \\ x & 1+x^2 & x \\ 0 & x & 1+x^2 \end{vmatrix} \\\overset{Laplace}{=} -x\cdot \begin{vmatrix} 1+x^2 & 0 \\ x & x\end{vmatrix} + (1+x^2)\cdot \begin{vmatrix} 1+x^2 & x \\ x & 1+x^2 \end{vmatrix} \\\overset{Def. Det.}{=} -x \cdot \begin{vmatrix} 1+x^2 & 0 \\ 0 & x \end{vmatrix} + (1+x^2)\cdot \begin{vmatrix} 1+x^2 & x \\ x & 1+x^2 \end{vmatrix} \\\overset{s.o.}{=}  -x \cdot \begin{vmatrix} 1+x^2 & 0 \\ 0 & x \end{vmatrix} + (1+x^2)(1+x^2+x^4) \\=-x^2\cdot (1+x^2)+(1+x^2)(1+x^2+x^4) \\= (1+x^2)\cdot (1+x^4) = 1+x^2+x^4+x^6 = \sum\limits_{i=0}^{3} x^{2i}$$

Induktionshypothese:
$$\text{Für alle } n\in \mathbb{N} \text{ gilt } \begin{vmatrix} 1+x^2 & x & 0 & ⋯ & 0 \\ x & 1+x^2 & x & ⋱ & ⋮ \\ 0 & ⋱ & ⋱ & ⋱ & 0 \\ ⋮ & ⋱ & x & 1+x^2 & x \\ 0 & ⋯ & 0 & x & 1+x^2 \end{vmatrix} = \sum\limits_{i=0}^{n} x^{2i}$$
Induktionsschritte (n->n+1):

Es gilt für die (n+1)x(n+1)-Matrix A:

$$A=\begin{pmatrix} 1+x^2 & x & 0 & ⋯ & 0 \\ x & 1+x^2 & x & ⋱ & ⋮ \\ 0 & ⋱ & ⋱ & ⋱ & 0 \\ ⋮ & ⋱ & x & 1+x^2 & x \\ 0 & ⋯ & 0 & x & 1+x^2 \end{pmatrix}$$

nach dem Laplace-Entwicklungssatz (nun nxn Matrizen):

$$|A| = (-1)^{n+n+1} \cdot x \cdot \begin{vmatrix} 1+x^2 & x & 0 & ... & ... & 0 \\ x & 1+x^2 & x & 0 & ... & \vdots \\ 0 & x & ... & ... & x & 0 \\ \vdots & 0 & ... & ... & 1+x^2 & 0 \\ 0 & ... & ... & ... & x & x \end{vmatrix} + (-1)^{n+1+n+1} \cdot (1+x^2)\cdot \begin{vmatrix} 1+x^2 & x & 0 & ⋯ & 0 \\ x & 1+x^2 & x & ⋱ & ⋮ \\ 0 & ⋱ & ⋱ & ⋱ & 0 \\ ⋮ & ⋱ & x & 1+x^2 & x \\ 0 & ⋯ & 0 & x & 1+x^2 \end{vmatrix} \\ \overset{Def. Det., Vereinf.}{=} -x \cdot \begin{vmatrix} 1+x^2 & x & 0 & ... & ... & 0 \\ x & 1+x^2 & x & 0 & ... & \vdots \\ 0 & x & ... & ... & x & 0 \\ \vdots & 0 & ... & ... & 1+x^2 & 0 \\ 0 & ... & ... & ... & 0 & x \end{vmatrix} + (1+x^2)\cdot \begin{vmatrix} 1+x^2 & x & 0 & ⋯ & 0 \\ x & 1+x^2 & x & ⋱ & ⋮ \\ 0 & ⋱ & ⋱ & ⋱ & 0 \\ ⋮ & ⋱ & x & 1+x^2 & x \\ 0 & ⋯ & 0 & x & 1+x^2 \end{vmatrix} \\ \overset{Laplace}{=}-x\cdot (-1)^{n+n}\cdot x\cdot \begin{vmatrix} 1+x^2 & x & 0 & ... & 0 \\ x & 1+x^2 & x & 0 & \vdots \\ 0 & x & ... & ... & 0 \\ \vdots & 0 & ... & ... & x \\ 0 & ... & ... & x & 1+x^2 \end{vmatrix} + (1+x^2)\cdot \begin{vmatrix} 1+x^2 & x & 0 & ⋯ & 0 \\ x & 1+x^2 & x & ⋱ & ⋮ \\ 0 & ⋱ & ⋱ & ⋱ & 0 \\ ⋮ & ⋱ & x & 1+x^2 & x \\ 0 & ⋯ & 0 & x & 1+x^2 \end{vmatrix} \\ \overset{2x Ind.hyp., Vereinf.}{=} -x^2 \cdot \sum\limits_{i=0}^{n-1} x^{2i} + (1+x^2) \cdot \sum\limits_{i=0}^{n} x^{2i} \\ \overset{Vereinf.}{=} -\sum\limits_{i=0}^{n-1} x^{2i+2} + \sum\limits_{i=0}^{n} x^{2i} + \sum\limits_{i=0}^{n} x^{2i+2} \\ = x^{2n+2} + \sum\limits_{i=0}^{n} x^{2i} = \sum\limits_{i=0}^{n+1} x^{2i}$$

Comments

Daumen hoch für diesen Schreibaufwand!

Answer 2

War ein Fehler von mir.

Comments

Warum das denn?

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Das ist doch keine Diagonalmatrix!

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Die Produkte der anderen Diagonalen sind immer Null, da in diesen Diagonalen immer mindestens eine Null auftaucht.

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Komisch, \(\begin{vmatrix}1+x^2&x\\x&1+x^2\end{vmatrix}=\left(1+x^2\right)^2-x^2=1+x^2+x^4\)   oder nicht?

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Überzeugt, war mein Fehler, ich hatte mehr Nullen gesehen als da waren.

Answer 3

Hier eignet sich Induktion über die Dimension \(n\in \mathbb{N}_{\geq 1}\).

Induktionsanfang sollte klar sein.

Im Induktionsschritt eignet sich der Entwicklungssatz von Laplace gut. Also vom Anfang so:

\(det(A)=(-1)^{1+1}\cdot (1+x^2)\cdot \underbrace{\begin{vmatrix} 1+x^2 & x & 0 & ⋯ & 0 \\ x & 1+x^2 & x & ⋱ & ⋮ \\ 0 & ⋱ & ⋱ & ⋱ & 0 \\ ⋮ & ⋱ & x & 1+x^2 & x \\ 0 & ⋯ & 0 & x & 1+x^2 \end{vmatrix}}_{\text{nur noch }n-1\times n-1 }\\\quad +(-1)^{2+1}\cdot x\cdot \underbrace{\begin{vmatrix} x & 0 & 0 & ⋯ & 0 \\ x & 1+x^2 & x & ⋱ & ⋮ \\ 0 & ⋱ & ⋱ & ⋱ & 0 \\ ⋮ & ⋱ & x & 1+x^2 & x \\ 0 & ⋯ & 0 & x & 1+x^2 \end{vmatrix}}_{\text{nur noch }n-1\times n-1 }\\\stackrel{(IV)}{=}(1+x^2)\cdot (1+x^2+...+x^{2(n-1)})\\\quad -x\cdot \underbrace{\begin{vmatrix} x & 0 & 0 & ⋯ & 0 \\ x & 1+x^2 & x & ⋱ & ⋮ \\ 0 & ⋱ & ⋱ & ⋱ & 0 \\ ⋮ & ⋱ & x & 1+x^2 & x \\ 0 & ⋯ & 0 & x & 1+x^2 \end{vmatrix}}_{\text{nur noch }n-1\times n-1 }=...\)

Jetzt machst du nochmal dasselbe auf die noch verbliebene Determinate: Entwicklungssatz von Laplace.