Wie komme ich auf die 2^3 von 8?

Question

Aufgabe:

Wie komme ich auf die 2^3 von 8? Mir ist schon klar, dass 2^3 8 ist aber ich wäre niemals von alleine drauf gekommen. Gibt es da einen Tipp?

Problem/Ansatz:

\( x \in R \quad \ln \left(x^{4}\right)=\ln x+\ln 8 \)
\( \ln(x)=\ln x+\ln 8 \)
\( \ln(x)=\ln x+\ln (2^3) \)

Answer 1

Aloha :)

Manchmal sieht man den Wald vor Bäumen nicht:$$2^3=2\cdot2\cdot2=8$$

Damit geht die Rechnung so:$$\left.\ln(x^4)=\ln x+\ln8\quad\right|\quad2^3=8$$$$\left.\ln(x^4)=\ln x+\ln(2^3)\quad\right|\quad x^4=x\cdot x^3$$$$\left.\ln(x\cdot x^3)=\ln x+\ln(2^3)\quad\right|\quad\ln(a\cdot b)=\ln(a)+\ln(b)\text{ anwenden}$$$$\left.\ln(x)+\ln(x^3)=\ln x+\ln(2^3)\quad\right|\quad-\ln(x)$$$$\left.\ln(x^3)=\ln(2^3)\quad\right|\quad\ln(a^b)=b\cdot\ln(a)\text{ anwenden}$$$$\left.3\ln(x)=3\ln(2)\quad\right|\quad:3$$$$\left.\ln(x)=\ln(2)\quad\right|\quad e^{\cdots}$$$$x=2$$

Comments

Ich verstehe schon, dass es 2*2*2=8 gibt aber ich wäre niemals drauf gekommen das man diesen Faktor zerlegen muss und das ist das Problem..

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Achso, es gibt folgendes Logarithmen-Gesetz:$$\ln(a^b)=b\cdot\ln(a)$$Daher kann man schreiben:$$\ln(8)=\ln(2^3)=3\cdot\ln(2)$$Damit kann man oft Logarithmen vereinfachen oder zusammenfassen.

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Super vielen herzlichen dank!

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Schau mal, ich habe dir die Rechnung noch in meiner Antwort ergänzt ;)

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Oh das ist aber sehr lieb danke! :)

Answer 2

Folgende Umformung wäre auch möglich:

4ln x= ln x + ln 8      |-ln x

3ln x= ln 8

ln (x^{3})=ln 8

x^{3}=8

x=8^{1/3}=2

Comments

da 2*2*2=8

Wäre auch schon früher

3*ln(x)=3*ln(2)

Was ja zu x=2 verleitet

Doch manchmal, ja, da geht's halt nicht.

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Hallo Hogar,

die Fragestellerin hatte ja aber Schwierigkeiten, 8=2^{3} zu erkennen.

:-)

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Das kommt vor, da kann ich ein Lied von singen. Manchmal, ist es besser ,schlafen zu gehen.

Answer 3

x ^3 = 8  | ln
3 * ln ( x ) = ln( 8 )
ln ( x ) = ln ( 8 ) / 3 = 0.6931  | e hoch
x = e ^( 0.6931) = 2

 2 ^3 = 8

Comments

Ich komme dann nur auf

x ≈ 1,9999

Mit

3 ln (x) = 3 ln(2)

ln(x)=ln(2)

\(e ^{ln(x)} \) = \(e ^{ln(2)} \)

folgt

x= 2

Doch du hast recht, wenn man es nicht sieht, muss man sich rantasten.

Aber mein Taschenrechner zeigt mir für

\( 8^{\frac{1}{3}} \) =2

ohne Komma, einfach 2

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Hallo Hogar,
zur Information :
rechnen habe ich im Rahmen einer
Berufsausbildung zum Physiklaboranten
gelernt.
Dort lagen Werte als Messwerte mit einer
Messungenauigkeit vor..
Es hatte keinen Sinn weiterführenden Berechnungen mit 7 Stellen hinter dem
Komma zu berechnen wenn der Meßwert
schon ungenauer war.

mfg Georg

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Hall Georg

Der Unterschied ist, dass bei dir als Laborant die Messwerte ungenau waren. Doch hier war der Ausgangswert sehr genau,

er war 8. Plus Minus 0.

Die Ungenauigkeit hast du erst durch deine Rechnung erzeugt.

Du solltest eigentlich gelernt haben, dass die Rechnung so durchzuführen ist, dass Fehler minimiert werden und dass nicht weitere dazu kommen.

Doch die Physiker waren schon immer großzügiger als die Mathematiker, denn zur Not hatten sie ja noch ihren Energieerhaltunssatz.

Wie gesagt, als Orientierung ist

X≈1,9999 sehr gut.

Liebe Grüße Hogar

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Hallo Hogar,

Doch die Physiker waren schon immer großzügiger als die Mathematiker

Das Verhalten der Physiker hat mit der Charaktereigenschaft Großzügigkeit
nichts zu tun.

Jede Messung ist mit einer Messungenauig-
keit behaftet. Das liegt nun mal in der Natur
der Sache.

Tatsache : 1 französicher Mathematiker
ist an dem Fakt, die Lichtgeschwindigkeit
ist 299.792.458 km/s übergeschnappt,
weil er der Ansicht war diese müßte
exakt 300000 km/s sein.

Traurig, traurig.

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Ja,

Und wenn der Apfel nicht so fällt, wie ich es sage, dann sprechen wir nicht vom .

Als Vermesser hatte ich es nur mit ungenauen Messergebnissen zu tun, doch wir haben viel Augenmerk darauf verwendet, die Messungen und Rechnungen so aufzubauen, dass die Fehler minimiert werden. Was mich nicht davon abhält, Fehler zu begehen.

Doch wie gesagt, 8 ist keine Messgröße.

Alles Gute, Hogar

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Falls du gerne liest empfehle ich dir das
Buch
Das Mass der Welt von Ken Adler
Auf der Suche nach dem Urmeter.

Französiche Revolution. Alles sollte im
Zehnersystem angegeben werden.
Das Urmeter sollte durch 1/4  einer 10er
Untereinheit des Erdradius definiert werden.
Nachher kam heraus : die Erde ist keine
perfekte Kugel. Die Definiton es ist rein
willkürlich, man hätte auch was anderes
nehmen können.
Einer der Vermesser kam mit einem
vermeintlichen Meßfehler nicht klar
und wurde nachher extrem depressiv
bzw. schönte auch einige Meßwerte.

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Wenn ich meinen Zwischenschritt
ln ( x ) = ln ( 8 ) / 3
in einen Taschenrechner eingebe kommt
auch exakt 2 heraus.

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Danke, für den Tipp.

Ja mit geschönten Werten kenne ich mich aus . Da konnte ich auch leidvolle Erfahrungen sammeln.

Auch Kepler war ja ganz traurig, dass seine Planeten nicht auf Kreisbahn ihrer Wege gehen.

Mein Buchtipp ist

Der Rechenmeister von Dieter Jörgensen

Dort sucht ein Mathematiker sein Glück in Venedig. Dabei muss er einen Rechenstreit bestreiten, infolge dessen der Verlierer das Feld räumen musste, da auch das damals reiche Venedig nur einen Rechenmeister den Unterhalt sichern konnte. Heute würden wir sagen, dass es um die Nullstellen der kubischen Funktion

f(x)= x³ +ax -b

geht.

P.s.

Dass du zum richtigen Ergebnis kommst und auch gekommen bist, hatte ich nie bezweifelt.

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Nun ja, die Lösung zu x ^3 = 8
sieht der Mathematiker auf den ersten Blick.

" Der Rechenmeister " habe ich schon.

Kurzweilig : Simon Singh : Fermats letzter
Satz.