Hallo,
um die Linearkombination der 3-Vektoren zu erhalten, die den letzten Vektor bilden, musst du einfach den Gauß-Algorithmus auf die 3 Basisvektoren und den letzten Vektor als Ergebnisvektor anwenden. Dann erhältst du als Lösungen genau die Linearkombination. Also haben wir folgendes Lineares Gleichungssystem als Matrix dargestellt:
$$\begin{pmatrix}-1 & 2& 1 &1\\1&1&0&1\\3&-1&1&-9\end{pmatrix}$$ wobei die letze Spalte dein Ergebnisvektor ist.
Jetzt wendest du den Gauß-Algorithmus an, und müsstest dann auf folgende Matrix kommen:
$$\begin{pmatrix}-1 & 2& 1 &1\\0&3&1&2\\0&0&\frac{7}{3}&\frac{-28}{3}\end{pmatrix}$$
Probiere den Gauß-Algorithmus selber noch durchzurechnen, ich habe dir hier nur die Ergebnismatrix hingeschrieben! Jetzt berechnest du die Lösungen des LGS:
\(\begin{aligned}\frac{7}{3}\cdot x_3&=\frac{-28}{3}\quad \mid \cdot 3, \text{ teilen durch } 7\\x_3&=-4\end{aligned}\)
Also hast du schon Mal die Unbekannte \(x_3\). Jetzt zur Unbekannten \(x_2\) in der zweiten Gleichung:
\(\begin{aligned}3\cdot x_2\cdot &=2-x_3=2-(-4)=6\quad \mid \text{ teilen durch } 3\\x_2&=2\end{aligned}\)
Jetzt noch die Unbekannte \(x_1\):
\(\begin{aligned}-x_1 &=1-2x_2-x_3=1-2\cdot 2 -(-4)=1\quad \mid \text{ einsetzen der Werte}\\x_1&=-1\end{aligned}\)
Also weißt du jetzt, wie du den Vektor \(\begin{pmatrix}1\\1\\-9\end{pmatrix}\) darstellen kannst mithilfe der anderen 3 Basisvektoren:
\((-1)\cdot \begin{pmatrix}-1\\1\\3\end{pmatrix}+2\cdot \begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}+ (-4)\cdot \begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\1\\-9\end{pmatrix}\).
Du kannst das Ergebnis schnell überprüfen, indem du zeilenweise die Berechnungen durchführst und darauf achtest, dass das Ergebnis gerade der Zahl im Vektor (den du mithilfe der LK der anderen Vektoren darstellen wolltest), entspricht.
