Aufgabe: Erklärung eines Beweisschrittes (Beweis für den Schrankensatz)
Es wird vorausgesetzt:
- D ⊆ ℂ
- f: D--> ℂ ist differenzierbar auf D und
- Es existiert ein M >0 sodass |f´(z)| < M für alle z∈D
Dann gilt: Die Steigung jeder Sekante zwischen zwei beliebigen unterschiedlichen Punkten ist betragsmäßig durch M beschränkt.
Also : \(\left| \frac{f(z_2)-f(z_2)}{z_2-z_2} \right|\) < M für jedes z1 ungleich z2 aus D.
Im Beweis heißt es jetzt:
(...) Es gibt ein c ∈ ℂ mit Betrag 1, so dass |f(z2)-f(z1)| = c(f(z2)-f(z1)). Das ist mir auch noch klar, aber danach heißt es dann:
"Die reellwertige Funktion g(k):= Re(c * f((1-k)z1+kz2)) k∈[0,1] ist aufgrund der Konvexität von D wohldefiniert und differenzierbar mit g´(k) := Re(c*(z2-z1) * f´((1-k)z1+kz1)) <= M ."
Ich verstehe nicht wieso aus der Konvexität hier Differenzierbar und Wohldefiniertheit folgt. :(
Freue mich über jegliche Hilfe.
LG
