Beweisschritt unklar - Schrankensatz

Question

Aufgabe: Erklärung eines Beweisschrittes (Beweis für den Schrankensatz)

Es wird vorausgesetzt:

- D ⊆ ℂ

- f: D--> ℂ ist differenzierbar auf D und

- Es existiert ein M >0 sodass |f´(z)| < M für alle z∈D

Dann gilt: Die Steigung jeder Sekante zwischen zwei beliebigen unterschiedlichen Punkten ist betragsmäßig durch M beschränkt.

Also : \(\left| \frac{f(z_2)-f(z_2)}{z_2-z_2} \right|\) < M für jedes z₁ ungleich z₂ aus D.

Im Beweis heißt es jetzt:

(...) Es gibt ein c ∈ ℂ mit Betrag 1, so dass |f(z₂)-f(z₁)| = c(f(z₂)-f(z₁)). Das ist mir auch noch klar, aber danach heißt es dann:

"Die reellwertige Funktion g(k):= Re(c * f((1-k)z₁+kz₂)) k∈[0,1] ist aufgrund der Konvexität von D wohldefiniert und differenzierbar mit g´(k) := Re(c*(z₂-z₁) * f´((1-k)z₁+kz₁)) <= M ."

Ich verstehe nicht wieso aus der Konvexität hier Differenzierbar und Wohldefiniertheit folgt. :(

Freue mich über jegliche Hilfe.

LG

Comments

Das ist komplexe Analysis, oder? Da kenne ich mich leider noch nicht aus. Ich weiß aber, dass konvexe Teilmengen von z. B. ℂ zusammenhängend sind und keine Löcher haben. Das würde vielleicht die Wohldefiniertheit erklären.

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Ne der Satz ist aus Analysis 1, aber danke ich glaub das mit der Wohldefiniertheit passt jetzt :D