Textaufgabe Flugzeuge, Vektoren

Question

Aufgabe:

Über einer nahezu ebenen Landschaft, die in einem lokalen Koordinatensystem durch die x1x2-Ebene beschrieben werden kann, fliegt ein Verkehrsflugzeug mit konstanter Geschwindigkeit und geradlinigem Kurs innerhalb von 5 min von P1(-225/317/1,1) nach P2(-200/257/1,6) (Einheit 1km)

a) Das Flugzeug fliegt danach auf diesem Kurs weiter. Wann erreicht das Flugzeug eine Höhe von 4 km? Wie groß ist die Geschwindigkeit des Flugzeugs?

b) Zum gleichen Zeitpunkt, an dem die Verkehrsmaschine den Punkt P2 passiert, befindet sich ein Sportflugzeug im Punkt Q1(-198/251/2,3), 3 min später im Punkt Q2(-204/242/1,8). Untersuchen Sie, ob es auf den beiden Flugbahnen zu einer Kollision kommen könnte, vorausgesetzt, dass auch das Sportflugzeug mit konstanter Geschwindigkeit und auf geradlinigem Kurs fliegt. Bestimmen Sie die minimale Entfernung der beiden Flugbahnen.

c) Zu welchem Zeitpunkt sind sich die beiden Flugzeuge tatsächlich am nächsten? Welche Entfernung haben Sie zu diesem Zeitpunkt?

Problem/Ansatz:

Ich bin bei der a) hängengeblieben. Ich habe zuerst ausgerechnet, zu welchem Zeitpunkt er die Höhe 4km erreicht.

Dazu habe ich (-225/317/1,1)+t*(5/-12/0,1) = (x1/x2/4). Dabei kommt für x1 = -80, x2 = -31 und für t = 29 raus.

Nun weiß ich aber nicht wie ich den Rest machen soll.

Comments

Wie bist du auf x=-80 gekommen

Answer 1

a) Wann erreicht das Flugzeug eine Höhe von 4 km?

Hast du völlig richtig gemacht.

[-200, 257, 1.6] - [-225, 317, 1.1] = [25, -60, 0.5]

[-225, 317, 1.1] + t·[25, -60, 0.5] = [x, y, 4] → x = -80 ∧ y = -31 ∧ t = 5.8

Das Flugzeug erreicht nach 5.8·5 = 29 Minuten eine Flughöhe von 4 km.

b) Wie groß ist die Geschwindigkeit des Flugzeugs?

Interessant ist hier die Länge des Vektors, der in 5 Minuten durchflogen wird.

|[25, -60, 0.5]| = (65 km) / (5 min) = 780.0 km/h

Comments

Für die b) (Kollision ja/nein) habe ich jetzt als Geradengleichung (-158/251/2,3)+t*(-2/-3/-1/6)

Ich würde jetzt einfach die beiden Geraden gleichsetzen, oder ist das der falsche Ansatz?

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Richtig. Du setzt die beiden Geraden gleich. Achte darauf das du verschiedene Parameter benutzt. Also einmal s und einmal t und nicht den gleichen Parameter.

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Alles klar, ich habe keine Lösung, also kollidieren sie nicht. Wie berechne ich jetzt die minimale Entfernung?

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Du suchst den Abstand zweier windschiefer Geraden. Schau mal was ihr dazu notiert habt.

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Du suchst den Abstand zweier windschiefer Geraden.

NEIN. Den würde man nur dann suchen, wenn beide Flugzeuge zum gleichen Zeitpunkt tatsächlich auf den beiden Punkten der beiden Flugbahnen wären, die den geringsten Abstand beider Geraden repräsentieren.

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E: x = (-225/317/1,1)+t*(5/-12/0,1)+s*(-2/-3/-1/6)

-> n = (2,3/0,63/-39)

E: 2,3x1+0,63x2-39x3 = -360,69

HNF: 65,72/sqrt(1526,69) = 1,68 km

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Bestimmen Sie die minimale Entfernung der beiden Flugbahnen.

Dieses ist der (minimale) Abstand zweier windschiefer Geraden.

Es geht hier nur um die Flugbahnen und nicht um Flugzeuge!

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Da hast du recht. Ich hatte die Frage "minimale Entfernung" (ohne nähere Spezifizierung" schon als Frage zu c) interpretiert.

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Ist denn meine Berechnung zu b) richtig?

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E: 2,3x1+0,63x2-39x3 = -360,69

Das ist noch näherungsweise richtig. Du könntest hier besser schreiben

69·x + 19·y - 1170·z = -10789

Das nächste kann ich gerade nicht mehr nachvollziehen.

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Ich habe die Hessesche Normalenform benutzt.

Der Aufpunkt der Geraden ist (-158/251/2,3)

69*(-158)+19*251-1170*2,3+10789/sqrt(69^2+19^2+1170^2)

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Der Aufpunkt der Geraden ist (-158/251/2,3)

Dann ist deine Aufgabenstellung oben falsch!

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Also für den Abstand zwei windschiefer Geraden haben wir das so gemacht. Die Ebene halt aus beiden Geraden, dann in die Koordinatenform den Aufpunkt der Geraden genommen, wo nur der Richtungsvektor benutzt wurde, eingesetzt und ausgerechnet.

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Darum geht es nicht! In der Aufgabe oben war die x-Koordinate noch -198, und jetzt ist sie plötzlich -158.

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Das stimmt so natürlich.. da habe ich mich wohl vertippt. Nun habe ich als Ergebnis 0,68 km.

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Wie gehe ich bei c) vor? Unser Lehrer hat gesagt wir sollen eine Funktion d(t) aufstellen, nur ich weiß nicht wie.

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Betrachte beide Geradengleichungen für denselben Koeffizienten t, dann bekommst du die Punkte

$$P_1(-225+5t,317-12t,1.1+0.1t) \text{ und } P_2(-198-2t,251-3t,2.3-\frac{1}{6}t)$$

von denen du den Abstand d(P₁ , P₂) in Abhängigkeit von t ermitteln kannst.

Dann ermittelst du mithilfe der Ableitung die Minimumstelle t' und über d(t') die minimale Entfernung.

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Ich empfehle das Quadrat des Abstandes zu minimieren. Das ist etwas einfacher.

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Ich habe jetzt P1P2 = (27-7t/-66+9t/1,2-4/15t)

Jetzt weiß ich nicht mehr weiter.

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Berechne den Betrag von P1P2, das gibt dir den Abstand von P1 und P2.

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1/15*sqrt(29266t^2+182106t+1144450)

Jetzt?

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$$\sqrt{(27-7t)^2+(-66+9t)^2+(1,2-\frac{4}{15}t)^2}=\sqrt{729-378t+49t^2+4356-1188t+81t^2+1,44-\frac{16}{25}t+\frac{16}{225}t^2} = \frac{1}{15}\cdot\sqrt{1144449-352494t+29266t^2}$$

Jetzt würde ich den Vorschlag von Der_Mathecoach aufgreifen und von

$$d(t)^2=\frac{1}{225} \cdot (1144449-352494t+29266t^2)$$

die Minimumstelle t' suchen (über die erste Ableitung).

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Der Term ist leider falsch. hier wurde überlesen, dass das Sportflugzeug zu dem Zeitpunkt in Q1 ist, wenn das erste Flugzeug schon in P2 (und nicht in P1) ist.