Aufeinanderfolgende Zahlen und die Summe

Question

Wie kann man zeigen/beweisen das 1024 als summe von mindestens 2 aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen größer als 0 zu schreiben NICHT MÖGLICH IST!

Answer 1

Hallo Romero,

nehme eine natürliche - also ganzzahlige - Zahl \(n\). Dann folgt auf \(n\) die Zahl \(n+1\). Wenn nun 1024 als Summe zweier auf eindner folgender Zahlen geschrieben serden soll, so muss es heißen:$$\begin{aligned} n + (n+1) &= 1024 \\ 2n + 1 &= 1024 \\ 2n &= 1023 \\ n &= \frac 12 \cdot 1023 \end{aligned}$$das ist aber keine natürliche Zahl mehr, und somit ein Widerspruch der Annahme.

Mit zwei Zahlen geht es also nicht. Versucht man es mit \(k\) Zahlen so ergibt das $$\begin{aligned} \sum_{i=0}^{k-1} (n+i) &= n \cdot k + \sum_{i=0}^{k+1} i \\ &= n \cdot k + \frac k2 (k-1)  \\ &= k \left( n + \frac 12(k-1)\right) \end{aligned}$$Da alle Teiler von 1024 gerade sind, müssen auch die beiden Faktoren \(k\) und \(n + \frac 12(k-1)\) gerade sein. Wenn aber \(k\) gerade ist, so ist \(k-1\) ungerade und der rechte Faktor ist keine natürliche Zahl. Folglich ist das nicht möglich.

Comments

Lesen muss gelernt sein.

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Beachte das Wörtchen mindestens

in der Fragestellung.

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Beachte das Wörtchen mindestens

erledigt!

Answer 2

Nimm mal die Summe von 2 aufeinanderfolgenden Zahlen

n + (n + 1) = 2n + 1

oder von 3 aufeinanderfolgenden Zahlen

n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 1 + 2

oder von 4 aufeinanderfolgenden Zahlen

n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) = 4n + 1 + 2 + 3

oder von m aufeinanderfolgenden Zahlen

n + ... + (n + m - 1) = m·n + 0.5·m·(m - 1) = 0.5·m·(m + 2·n - 1)

Das musste jetzt 1024 sein

0.5·m·(m + 2·n - 1) = 1024

m·(m + 2·n - 1) = 2048

m·(m + 2·n - 1) = 2^11

2048 besteht nur aus graden faktoren. also müsste m gerade sein. wenn m gerade ist ist m + 2n auch gerade und m + 2n - 1 ist ungerade. Aber das geht ja nicht weil alle faktoren von 2048 gerade sein müssten.

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$$n+...+(n+m-1)=\sum\limits_{i=0}^{m-1} n+i=\sum\limits_{i=0}^{m-1} n+\sum\limits_{i=0}^{m-1} i = m\cdot n + \frac{m\cdot (m-1)}{2}$$

Aber sonst Pluspunkt fürs Lesen.

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Danke für den Hinweis. Hab ich korrigiert.