Aloha :)
Du brauchst zunächst die kubische Funktion$$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$$die durch die 4 Punkte \((x_i\,;\,f(x_i))\) verläuft:$$\begin{array}{r}a & b & c & d & =\\\hline27 & 9 & 3 & 1 & 7\\-64 & 16 & -4 & 1 & 4\\8 & 4 & 2 & 1 & 9\\64 & 16 & 4 & 1 & 3\end{array}$$Dieses Gleichungssystem hat als Lösung:$$a=-\frac{25}{336}\quad;\quad b=-\frac{111}{336}\quad;\quad c=\frac{358}{336}\quad;\quad d=\frac{2952}{336}$$Die Funktionsgleichung lautet daher:$$f(x)=\frac{1}{336}\left(-25x^3-111x^2+358x+2952\right)$$Für den Punkt \((3;7)\) können wir den Differenzenquotienten bilden:
$$\phantom{=}\frac{f(3+h)-f(3)}{h}$$$$=\frac{\frac{1}{336}\left(-25(3+h)^3-111(3+h)^2+358(3+h)+2952\right)-7}{h}$$Der Zähler ist mir zu fummelig, daher mache ich den in einer Nebenrechnung:$$\qquad-25(3+h)^3\;\,=-25h^3-225h^2-675h-675$$$$\qquad-111(3+h)^2=-111h^2-666h-999$$$$\qquad358(3+h)\;\;\;\;\,=358h+1074$$Alle 3 rechten Seiten addiert, inklusive der \(2952\) ergeben die ausgerechnete Klammer im Zähler:$$=\frac{\frac{1}{336}\left(-25h^3-336h^2-983h+2352\right)-7}{h}=\frac{\frac{-25}{336}h^3-h^2-\frac{983}{336}h}{h}$$$$=\frac{-25}{336}h^2-h-\frac{983}{336}$$Damit haben wir die gesuchte Tangenten-Steigung \(m\) im Punkt \(x=3\):$$m=\lim\limits_{h\to0}\left(\frac{f(3+h)-f(3)}{h}\right)=\lim\limits_{h\to0}\left(\frac{-25}{336}h^2-h-\frac{983}{336}\right)=\boxed{-\frac{983}{336}}$$
