Bestimme die Steigung der Tangente durch P mit dem Grenzwert (lim)

Question

Aufgabe:

Bestimme die Steigung der Tangente durch P mit dem Grenzwert (lim)

kubische Funktion  P=(3/7), A=(-4/4), B(2/9), C(4/3)

Answer 1

Aloha :)

Du brauchst zunächst die kubische Funktion$$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$$die durch die 4 Punkte $(x_i\,;\,f(x_i))$ verläuft:$$\begin{array}{r}a & b & c & d & =\\\hline27 & 9 & 3 & 1 & 7\\-64 & 16 & -4 & 1 & 4\\8 & 4 & 2 & 1 & 9\\64 & 16 & 4 & 1 & 3\end{array}$$Dieses Gleichungssystem hat als Lösung:$$a=-\frac{25}{336}\quad;\quad b=-\frac{111}{336}\quad;\quad c=\frac{358}{336}\quad;\quad d=\frac{2952}{336}$$Die Funktionsgleichung lautet daher:$$f(x)=\frac{1}{336}\left(-25x^3-111x^2+358x+2952\right)$$Für den Punkt $(3;7)$ können wir den Differenzenquotienten bilden:

$$\phantom{=}\frac{f(3+h)-f(3)}{h}$$$$=\frac{\frac{1}{336}\left(-25(3+h)^3-111(3+h)^2+358(3+h)+2952\right)-7}{h}$$Der Zähler ist mir zu fummelig, daher mache ich den in einer Nebenrechnung:$$\qquad-25(3+h)^3\;\,=-25h^3-225h^2-675h-675$$$$\qquad-111(3+h)^2=-111h^2-666h-999$$$$\qquad358(3+h)\;\;\;\;\,=358h+1074$$Alle 3 rechten Seiten addiert, inklusive der $2952$ ergeben die ausgerechnete Klammer im Zähler:$$=\frac{\frac{1}{336}\left(-25h^3-336h^2-983h+2352\right)-7}{h}=\frac{\frac{-25}{336}h^3-h^2-\frac{983}{336}h}{h}$$$$=\frac{-25}{336}h^2-h-\frac{983}{336}$$Damit haben wir die gesuchte Tangenten-Steigung $m$ im Punkt $x=3$:$$m=\lim\limits_{h\to0}\left(\frac{f(3+h)-f(3)}{h}\right)=\lim\limits_{h\to0}\left(\frac{-25}{336}h^2-h-\frac{983}{336}\right)=\boxed{-\frac{983}{336}}$$

Answer 2

Hallo

 1. Funktion bestimmen f(x)=ax³+bx²+cx+d di 4 Punkte einsetzen  und a,b,c,d bestimmen, dann  (f(3+h)-7)/h  (f(3)=7 )und h gegen 0 , dann sag, wo du Schwierigkeiten hast.

Gruß lul

Comments

Hab die Funktion schon bestimmt, aber wie komm ich auf die Tangente, mithilfe vom Grenzwert?

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Hallo

ich hatte dir ja gesagt, welchen GW du bestimmen sollst, das ist die Steigung der Tangente, und die muss durch P gehen

lul

Answer 3

Du musst zuerst die Funktion bestimmen:

f(x)=a*x³+b*x²+c*x +d

P(3|7)

f(3)=a*3³+b*3²+c*3+d

1.) 27a+9b+3c+d=7

Bestimme nun die weiteren 3 Gleichungen und löse das Gleichungssystem.

mfG

Moliets

Comments

Habe das Gleichungssystem schon gelöst! Ich brauche die TANGENTE durch P, mithilfe vom Grenzwert /lim)

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Wie lautet nun f(x)?

mfG

Moliets

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f(x) = -25/336·x3 - 37/112·x2 + 179/168·x + 123/14