Lösen von schwierigen Gleichungen

Question

Aufgabe:

5^8x+1- 2 • 5^4x+3+ 3125 = 0

Problem/Ansatz:

Wie löst man diese Gleichung. Versuche es die ganze Zeit aber kriege es irgendwie nicht hin

Answer 1

Hallo,

es gilt $$5^{8x+1}=\left(5^{4x+\frac{1}{2}}\right)^2=\left(5^{4x}\sqrt{5}\right)^2\\ 5^{4x+3}=5^{4x}\cdot 125$$ Setze also \(u:=5^{4x}\) und löse die quadratische Gleichung.$$(\sqrt{5}u)^2-250u+3125=0 \Leftrightarrow 5u^2-250u+3125=0 \\ \Leftrightarrow (u-25)^2=0 \Rightarrow u=25$$. Damit gilt, dass \(5^{4x}=25=5^2 \Rightarrow 4x=2 \Rightarrow \color{green}{x=\frac{1}{2}}\)

Answer 2

5^{8x+1}- 2 • 5^{4x+3}+ 3125 = 0

5^{8x}  • 5^{1}- 2 • 5^{4x} • 5^{3}+ 3125 = 0

5 • 5^{8x}- 250 • 5^{4x}+ 3125 = 0    |/5

(5^{4x})^{2}- 50 • 5^{4x}+ 625 = 0

z^{2}-50z+625=0

z=25±√(625-625)=25=5^2=5^{4x}

2=4x

x=0,5