Schwierigen Grenzwert berechnen

Question

Aufgabe:

Grenzwert berechnen

Problem/Ansatz:

Wurzel von n+1 minus die Wurzel von n lautet der Term, von dem der Grenzwert gesucht ist. (Leider weiß ich nicht, wie man die Wurzel eintippen kann)

Man soll den Term umformen und so den Grenzwert berechnen.

Vielen Dank im Voraus!!

Comments

Hallo Faye25, ich habe meine Frage nun angepasst und auch die Grenzwertberechnung mit hinzugefügt. Ich hoffe du verstehst jetzt alles!

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Vielen vielen Dank!! Das hat mir sehr geholfen :)

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Das freut mich! :)

Answer 1

Hallo,

benutze die 3. binomische Formel \(\textcolor{blue}{(a+b)} \cdot \textcolor{orange}{(a-b)}= \textcolor{green}{a^2 - b^2}\), indem du deinen Ausdruck mit \(\sqrt {n}+\sqrt{n+1}\) erweiterst: $$\begin{aligned}\textcolor{orange}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}&=\textcolor{orange}{\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)}\cdot \textcolor{blue}{\overbrace{\frac{\sqrt {n}+\sqrt{n+1}}{\sqrt {n}+\sqrt{n+1}}}^{1}}\\&=\frac{\textcolor{orange}{\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)}\textcolor{blue}{\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)}}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}\\&\stackrel{BF}{=}\frac{\textcolor{green}{\left(\sqrt{n}\right)^2-\left(\sqrt{n+1}\right)^2}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\\&=\frac{n-n+1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}\\&=\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}.\end{aligned}$$ Beim umgeformten Term kannst du jetzt ganz einfach den Grenzwert berechnen: $$\lim\limits_{n\to\infty} \frac{1}{\underbrace{\sqrt{n}}_{\to\infty}+\underbrace{\sqrt{n+1}}_{\to\infty}}\xrightarrow{n\to\infty} 0.$$