Äquivalenz von Abbildungsforschriften

Question

Liebe Community!

wir haben Probleme bei folgender Beweisaufgabe:

\( A \) und \( B \) seien Mengen, \( f \, : \, A \rightarrow B \) eine Funktion. Wir definieren damit zwei weitere Funktionen:
\( F \, : \, \mathcal{P}(A) \rightarrow \mathcal{P}(B) \, : \, X \mapsto f(X) \) sowie \( G \,: \, \mathcal{P}(B) \rightarrow \mathcal{P}(A) \, : \, Y \mapsto f^{-1}(Y) \)

Zeigen Sie, dass folgende Aussagen äquivalent sind:
(a) \( f \) ist surjektiv
(b) \( F \) ist surjektiv
(c) \( G \) ist injektiv

Uns bereitet vor allem die Umkehrabbildung G Probleme, denn die Umkehrung einer surjektiven Funktion kann ja ohne lokale Bijektion die Funktionsfortschrift verletzen. Ist für die Äquivalenz der drei Aussagen (lokale) Bijektion der Funktion \( f \, : \, A \rightarrow B \) ein notwendige Voraussetzung?

Vielen Dank im Voraus

Comments

Mithilfe eines Ringschlusses kannst du die Äquivalenz der drei Aussagen beweisen. Nehme an, dass a) gilt und folgere damit b). Nehme an, dass b) gilt und beweise, dass daraus auch Aussage c) folgt. Nehme an, dass c) gilt und folgere damit Aussage a). Dann hast du die Äquivalenz aller Aussagen gezeigt. Also \(f \text{ surjektiv }\implies F \text{ surjektiv }\) und \(F \text{ surjektiv } \implies G \text{ injektiv } \) und \(G \text{ injektiv } \implies f \text{ surjektiv }\) sind die nötigen Beweisschritte.

---

Du nimmst an, dass \(G\) eine Funktion ist. Damit nimmst du auch an, dass \(f^{-1}\) eine Funktion, also eindeutig, ist.

Answer 1

f^(-1) (Y)  ist nicht die Umkehrfunktion, sondern die

Urbildmenge von Y bei der Abbildung f.