Berechne den Mittelpunkt der Seiten und den Schwerpunkt des Dreiecks.

Question

Aufgabe:

Folgende Koordinaten sind gegeben.

A(0/0/0), B (6/4/0), C(8/6/4)

Berechne den Mittelpunkt der Seiten und den Schwerpunkt des Dreiecks.

Answer 1

A(0/0/0), B (6/4/0), C(8/6/4)

A'=(B+C)/2=(7;5;2)

B'=(C+A)/2=(4;3;2)

C'=(A+B)/2=(3;2;0)

S= (A+B+C)/3= ( 14/3 ; 10/3; 4/3)

S=(2A'+A)/3=( 2B'+B)3=(2C'+C)/3

Comments

Ist der Schwerpunkt nicht 7/3;5/3;2/3

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Nein, im Dreieck verhält sich

AS/A'S = 2/1  der Schwerpunkt liegt näher an der Grundseite, als an der Spitze.Das ist auch plausibel, denn da ist ja auch die meiste Masse.

Answer 2

Aloha :)

Den Mittelpunkt der Seiten gibt es nicht, denn es gibt ja 3 Seiten. Daher finden wir 3 Seiten-Mittelpunkte:

$$\vec m_{AB}=\vec a+\frac{1}{2}(\vec b-\vec a)=\frac{1}{2}(\vec a+\vec b)=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}0+6\\0+4\\0+0\end{pmatrix}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}6\\4\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\2\\0\end{pmatrix}$$$$\vec m_{AC}=\vec a+\frac{1}{2}(\vec c-\vec a)=\frac{1}{2}(\vec a+\vec c)=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}0+8\\0+6\\0+4\end{pmatrix}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}8\\6\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\3\\2\end{pmatrix}$$$$\vec m_{BC}=\vec b+\frac{1}{2}(\vec c-\vec b)=\frac{1}{2}(\vec b+\vec c)=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}6+8\\4+6\\0+4\end{pmatrix}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}14\\10\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7\\5\\2\end{pmatrix}$$Der Schwerpunkt des Dreiecks ist:$$\vec s=\frac{1}{3}(\vec a+\vec b+\vec c)=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}0+6+8\\0+4+6\\0+0+4\end{pmatrix}=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}14\\10\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}14/3\\10/3\\4/3\end{pmatrix}$$