Zeigen Sie, dass die Lösungsmenge dieser Dgl. ein Vektorraum über R ist...

Question

Aufgabe:

Lineare Differentialgleichung dritter Ordnung.

Wir betrachten die Dgl. dritter Ordnung y''' − y'' +y' − y = 0.

a) Zeigen Sie, dass die Lösungsmenge dieser Dgl. ein Vektorraum über R ist.
b) Weisen Sie nach, dass die folgenden drei Funktionen Lösungen der Dgl. sind.
y_1(x) = e^x       y_2(x) = sin(x)         y_3(x) = cos(x)
c) Transformieren Sie die Dgl. dritter Ordnung in ein System aus Dgln. erster Ordnung.

Hallo Leute, Könntet ihr mir bitte helfen diese Aufgabe zu lösen? das ist vom Fach Gewöhnliche Differentialgleichungen.

Vielen Dank im Voraus! :))

Answer 1

Hallo,

zu a)

Die Menge aller Lösungen ist ein Vektorraum.

Ansatz: y=e^(λx) , 3 Mal ableiten und in die DGL einsetzen, bekommst die charakt. Gleichung:

λ^3 -λ^2 +λ-1=0

(λ-1)(λ^2 +1)=0

Satz vom Nullprodukt:

λ₁=1

λ_2,3= ± i

Lösung:

y=C₁ cos(x) +C₂ sin(x) +C₃ e^x

zu b)

am Beispiel:

y=e^x=y' =y''=y'''

Es muß die linke Seite = der rechten Seite sein.

y''' − y'' +y' − y = 0

e^x -e^x +e^x -e^x=0

0=0

zu c)

Comments

Dankeschön für deine Hilfe! :))

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Mal frag, was hat Dir denn an meiner Antwort nicht gefallen?

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Deine Antwort war die beste Antwort aber ich konnte deine Antwort nicht die beste Antwort machen. Ka wieso es tut mir leid :(

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Text erkannt:

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Wenn du wissen würdest wie ich deine Antwort die beste stellen würde sag mir bitte ich würde es machen weil Ihre Antwort war wirklich die beste. Es tut mir leid und vielen Dank für deine Hilfe nochmal

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...............Danke.....................

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Das liegt daran, dass du schon vor 3 Tagen eine Antwort als beste ausgewählt hast. Du musst am gleichen Tag deine Entscheidung ändern, sonst kannst du keine andere Antwort mehr auswählen, wenn ich mich nicht irre. Du kannst auch von einem Moderator oder Redakteur die Antwort als Beste eintragen lassen, wenn du es nicht mehr kannst. Dafür kannst du im Chat den Link zu dieser Antwort Posten und schreiben, dass sie als Beste ausgewählt werden soll.

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Danke für deine Information das hat geklappt:))

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@Grosserloewe

Ich habe heute noch neue Frage gestellt könntest du mir bitte helfen die zu lösen? :(

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Ich habe 4 Aufgaben von Algebra ,die ich gar nicht machen konnte. Sie sind wirklich zu schwer für mich. Könntest du mir dabei helfen?
https://www.mathelounge.de/765038/wieviele-sylowgruppen-geben-eine-s…

und
https://www.mathelounge.de/765036/zeigen-sie-dass-jede-solche-gruppe…

und
https://www.mathelounge.de/765033/zeigen-eine-operation-dasselbe-ein…

und

https://www.mathelounge.de/765032/geben-stabilisator-elements-zentru…

Answer 2

(a) Schau mal hier

https://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_gew%C3%B6hnliche_Differentialgleichung

(b) berechne die Lösungen der charakteristischen Gleichung der Dgl.

(c) https://www3.risc.jku.at/people/wwindste/Teaching/LogikAlsArbeitssprache/SS04/Papers/0256803+0256698.pdf Satz 1.3.3

Answer 3

b)

$$y_1(x) = e^x=y'_1(x) = y''_1(x) = y'''_1(x) $$

Damit$$y''' − y'' +y' − y = 0.$$

$$y_2(x) = sin(x) $$$$y'_2(x) = cos(x) $$$$y''_2(x) = -sin(x) $$$$y'''_2(x) = -cos(x)$$

Damit$$y''' − y'' +y' − y = 0.$$Denn$$y''' + y' =y''+y =0 $$

$$y_3(x) = cos(x)$$$$y'_3(x) =- sin(x) $$$$y''_3(x) =- cos(x)$$$$y'''_3(x) = sin(x) $$

Damit$$y''' − y'' +y' − y = 0.$$Denn$$y''' + y' =y''+y =0 $$