Hallo,
wenn ∀x,y∈[a,b] : ∣f(x)−f(y)∣≤L∣x−y∣, dann entspricht das genau der ε-δ-Charakterisierung der Stetigkeit mit δ : =Lε. Genauer sogar der gleichmäßigen Stetigkeit. Denn sei ∣x−y∣≤δ, dann gilt mit δ : =Lε dass ∣f(x)−f(y)∣≤L∣x−y∣<L⋅δ=ε
Für den Sonderfall, dass L=0, erhältst du ∣f(x)−f(y)∣≤0⇒∣f(x)−f(y)∣=0⇒f(x)=f(y) für alle x,y∈[a,b]. Damit ist f konstant und damit auch gleichmäßig stetig.