Für welche k ist die menge B keine basis des R³?

Question

Aufgabe:

Gegeben sind die vektoren v1(1/5/k+1) v2(1/4/k) und v3(2/9/4)

Untersuchen Sie für welche Werte von k die Menge B (v1,v2,v3) keine Basis des R³ ist

Problem/Ansatz:

Ich habe ein LGS aufgestellt mit r*v1+s*v2+t*v3=0

Ich habe auch versucht mit den gauß verfahren bis zu dem nuller dreieck zu rechnen und dann zu sehen für welche k es eine nuller Zeile gibt, denn dann wäre es keine Basis. Jedoch habe ich mir so schwer getan beim rechnen dass für k eine komplett bescheuerte Zahl rausgekommen ist... in der lösung steht k=1.5 .... kann mir jemand das gauß verfahren vorrechnen damit ich meinen Fehler sehe? Ich komme nämlich auf k=6.789 :((

Answer 1

1         1     2  | *(-5) zur 2. Zeile
5        4      9
k+1     k    4

1        1    2  | * (-1-k) zur 3. Zeile
0       -1    -1
k+1    k   4

1        1    2  
0      -1    -1
0      -1    2-2k

Nullzeile entsteht wenn -1 = 2-2k ==>  k=1,5.

Musst noch prüfen, ob bei der Multiplikation

mit -1-k nichts schief geht. Das wäre 0

für k=-1 und für k=-1 hat die

Matrix rang=3, also kein Problem.

Einfacher wäre es mit Determinanten.

Die beträgt hier 2k-3, ist also 0 für k=1,5.

Comments

Jetzt weiss ich wo der Fehler liegt.. Allerdings hätte ich noch eine frage: ich muss ja am Schluss beim gauß verfahren die einzelnen Fälle für k überprüfen. Der erste Fall wäre ja k=1.5 und da ich mit -1-k multipliziert habe muss ich auch überprüfen das wie du geschrieben hast nichts schief läuft... Aber wie mache ich das? Wäre das der Fall k=0? Oder k=-1?

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Wenn du mit -1-k multiplizierst, geht das ja nur, wenn -1-k nicht 0

ist. Das wäre für k=-1 der Fall. Da hast du dann die Matrix

1        1     2  
5        4      9
0        -1     4

bzw. nach der ersten Umformung

1        1    2  
0       -1    -1
0        -1    4

und das würde zu

1        1    2 
0      -1    -1
0       0      5   weiter umgeformt, also auch

hier lineare Unabhängigkeit gegeben und drei lin. unabhängige in R^3

bilden ja immer eine Basis .

Answer 2

Aloha :)

Vielleicht eine andere Herangehensweise anstatt über ein LGS:

Eine Basis des \(\mathbb R^3\) muss den ganzen \(\mathbb R^3\) aufspannen. Das heißt, das 3-dimensionale Volumen der Basis-Vektoren muss \(\ne0\) sein. Über das 3-dimensionale Volumen gibt die Determinante Auskunft. Hier sind die \(k\) gesucht, für die die 3 Vektoren keine Basis bilden, für die also die Determinante \(=0\) ist.

$$0\stackrel{!}{=}\begin{vmatrix}1 & 1 & 2\\5 & 4 & 9\\k+1 & k & 4\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1 & 1 & 2\\0 & -1 & -1\\0 & -1 & 2-2k\end{vmatrix}=2k-2-1=2k-3\quad\Rightarrow\quad k=\frac{3}{2}$$

Für \(k=\frac{3}{2}\) bilden die Vektoren keine Basis des \(\mathbb R^3\).

Comments

Ach vielen Dank, leider kann ich das mit Determinanten nicht weil wir das nicht hatten aber ich seh es mir mal an :)