hi
1)
z.b. kann man sich vorstellen, dass die spirale(näherungsweise)
aus konzentrischen kreisringen der stärke s = 0.4mm besteht.
der größte kreisring hat den mittleren durchmesser
D1 = D - s = 50mm - 0.4mm = 49.6mm
mit dem zugehörigen mittleren umfang U1 = 155.8mm
der zweitgrößte kreis hat den mittleren durchmesser
D2 = D - 3s = 50mm - 3*0.4mm = 48.8mm
mit dem zugehörigen mittleren umfang U2 = 153.3mm
D3 = D - 5s = 50mm - 5*0.4mm = 48mm
mit dem zugehörigen mittleren umfang U3 = 150mm
...
Dn = D - (2n-1)s
in diesem sinne fahren wir fort, und summieren die umfänge,
solange die summe aller umfänge <= 2000mm ist.
n Un Summe Un
1 155.822996 155.822996
2 153.309721 309.132717
3 150.796447 459.929164
4 148.283173 608.212338
5 145.769899 753.982237
6 143.256625 897.238862
7 140.743351 1037.982213
8 138.230077 1176.212290
9 135.716803 1311.929092
10 133.203529 1445.132621
11 130.690254 1575.822875
12 128.176980 1703.999855
13 125.663706 1829.663561
14 123.150432 1952.813993
14 vollständige konzentrische kreisringe(das entspricht 14 umgängen) der stärke s = 0.4mm lassen sich so ineinander verschachteln. es verbleibt eine restlänge von 2000mm - 1952.813993mm = 47.186mm
2)
bei großen längen wird obige vorgehensweise recht mühsam. es sei denn man lässt den computer rechnen, das habe ich nämlich gemacht :P
bleiben wir bei der vorstellung von konzentrischen kreisringen der stärke s.
die durchmesser und damit auch die umfänge werden von außen nach innen immer kleiner.
D1 = D - s
D2 = D - 3s
D3 = D - 5s
...
Dn = D - (2n-1)s
U1 = (D - s)π = Dπ - sπ
U2 = (D - 3s)π = Dπ - 3sπ
U3 = (D - 5s)π = Dπ - 5sπ
...
Un = (D - (2n-1)s)π = Dπ - (2n-1)sπ
die gesamtlänge der angenäherten spirale ist die summe aller umfänge
L = U1 + U2 + ... + Un
L = Dπ - sπ + Dπ - 3sπ + Dπ - 5sπ + ... + Dπ - (2n-1)sπ
L = nDπ - sπ - 3sπ - 5sπ - ... - (2n-1)sπ
L = nDπ - sπ(1 + 3 + 5 + ... + (2n-1))
L = nDπ - sπn^2
der letzte schritt der umformung ist die anwendung der summenformel für die ersten
n ungeraden zahlen. weitere umformungen führen zu einer quadratischen gleichung
-sπn^2 + nDπ - L = 0 | : (-sπ)
n^2 - n D/s + L/(sπ) = 0
n1,2 = D/(2s) ± √(D^2/(4s^2) - L/(sπ))
n1,2 = D/(2s) ± √(D^2π^2 - 4πLs)/(2πs)
diese quadratische gleichung hat zwei lösungen
n1 = 14.3887, n2 = 110.611
und nur n1 = 14.3887 ist für uns sinnvoll, es sind also n1 = 14 komplette umläufe möglich.
dieses ergebnis ist für uns jedoch nichts neues. :)
3)
betrachten wir die wicklungen ebenfalls näherungsweise als eine spirale mit variablem radius r. der größte mittlere radius ist
r1 = D/2 - s/2
dann schrumpft der radius r bei jedem vollen umlauf von außen nach innen um jeweils Δs
r2 = D/2 - 3s/2
r3 = D/2 - 5s/2
...
rn = D/2 - (2n-1)s/2
betrachten wir die änderung des radius in abhängigkeit vom winkel φ, so können wir eine
abhängigkeit vom winkel wie folgt angeben:
r(φ) = D/2 - (φ + π)*s/(2π)
warum?
eine umdrehung entspricht 2π. berechnen wir den radius für die ersten zwei umläufe:
r(2π) = D/2 - (2π + π)*s/(2π) = D/2 - 3πs/(2π) = D/2 - 3s/2
r(4π) = D/2 - (4π + π)*s/(2π) = D/2 - 5πs/(2π) = D/2 - 5s/2
wie man sieht entspricht das der oben angegebenen gesetzmäßigkeit.
die gleichung r(φ) = D/2 - (φ + π)*s/(2π) bröseln wir noch etwas auf in
r(φ) = D/2 - φ*s/(2π) - π*s/(2π)
r(φ) = D/2 - φ*s/(2π) - s/2
r(φ) = (D-s)/2 - φ*s/(2π)
(D-s)/2 ist konstant und nur der term φ*s/(2π) ist von φ abhängig.
wir setzen rs(φ) = φ*s/(2π)
und bekommen
r(φ) = D/2 - rs(φ)
rs(φ) = φ*s/(2π) ist die funktion einer archimedischen spirale
rs(φ) = a*φ mit a = s/(2π)
deren bogenlänge sich mit
s(φ) = [a/2 * (φ * √(1 + φ^2) + ln(φ + √(1 + φ^2)))] (von φ1 bis φ2)
berechnen lässt.
https://de.wikipedia.org/wiki/Archimedische_Spirale
oben hatten wir ja schon n = 14 umläufe berechnet. das ergibt einen mittleren radius von
r = 25mm - 14*0.4mm + 0.2mm = 19.6mm.
ab jetzt tun wir so, als sei die gewickelte feder eine archimedische spirale. die archimedische spirale
verläuft vom koordinatenursprung nach außen, wir berechnen den zu r = 19.6mm zugehörigen winkel φ1
rs(φ1) = φ1*s/(2π)
19.6 = φ1*0.4/(2π)
φ1 = 19.6/(0.4/(2π)) = 19.6 * 2π / 0.4
φ1 = 307.876 rad
die spirale endet nach 14 umwicklungen bei einem winkel
φ2 = 307.876 rad + 14*2π = 395.841 rad
wir berechnen die bogenlänge von φ1 bis φ2:
s = [0.4/(4π)*(φ * √(1 + φ^2) + ln(φ + √(1 + φ^2)))] (von φ1 = 703.717 bis φ2 = 785.398) =
0.4/(4π) * ( 395.841 * √(1 + 395.841^2) + ln(395.841 + √(1 + 395.841^2))) -
0.4/(4π) * ( 307.876 * √(1 + 307.876^2) + ln(307.876 + √(1 + 307.876^2)))
= 1970.42mm
die näherung mit den konzentrischen kreisringen ergab bei 14 wicklungen eine länge von rund 1952.8mm.
da die berechnung der bogenlänge über den ansatz als spirale ebenfalls nur eine näherung ist, liegt die wahrheit bezüglich der wahren bogenlänge irgendwo dazwischen bzw. in der nähe beider lösungen.
an der lösung n = 14 wicklungen ändert das aber(in diesem fall) nichts.
gruß
gorgar
