Bestimme folgende Grenzwerte

Question

Hallo kann mir bitte jemand bei den einzelnen Aufgaben einen Rechenweg aufzeigen?.

Vielen Dank im Voraus!

Die Aufgabe lautet:

Bestimme folgende Grenzwerte (mit Rechenweg/Begründung):
(a) \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{n+2}{n^{2}+1} \)
(b) \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{n^{2}-3}{n^{2}+2} \)
(c) \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{3 n^{3}+5 n^{2}-2 n}{n^{3}+4 n+7} \)
(d) \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{2 n^{3}+(-1)^{n} n^{2}}{n^{4}+5 n+1} \)
(e) \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{n^{2} 2^{-n}+1}{3 n^{2}+6 n} \)
(f) \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{5^{n}}{5^{n+1}+2^{n+2}} \)

Answer 1

lim n -> ∞ [ ( n + 2 ) / ( n^2 + 1 ) ] = ∞ / ∞
Ein Fall für l´hospital
( n + 2 )´ / ( n^2 + 1 )´

1 / ( 2n ) gegen unendlich = 1 / ∞  = 0

Comments

Wie wäre das bei den anderen Aufgaben?

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b.)
lim x -> ∞ [ (x^2 - 3 ) / ( x^2 + 2 )]

Gegenüber x^2 spielt die -3 oder + 2
keine Rolle mehr
(x^2 ) / ( x^2 ) = 1

Wenn du l´hospital anwenden willst
(x^2 - 3 ) ´ / ( x^2 + 2 ) ´

2x / 2x = 1

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Könnte mir noch jemand bei Aufgabe f) helfen und mir ein Ergebnis nennen?.

Answer 2

Kürze jeweils mit der höchsten Potenz!

Answer 3

c) 1/3, weil die höchste Potenz im Zähler und Nenner beide ^3 sind (n^3), d.h. Zähler und Nenner den gleichen Grad haben.

d) 0, da der Zählergrad kleiner als der Nennergrad für den Grenzwert n gegen Unendlich ist.

e) 1/3 ,Begründung wie bei a).

f) Grenzwert ist hier 1/5, weil du rechnest erst durch 5 im Zähler sowie Nenner, also \( \lim\limits_{n\to\infty} \) (1/5)/1+(2^n+2/5^n+1)

Comments

Super, danke!

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gerne, würde mich sehr über einen daumen oben freuen

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c) und e) sind falsch.

Answer 4

a) 0

b) 1

c) 3

d) 0

e) 0

Warum?

Kürze mit n^2.

Betrachte dann 2^{-n}/3

Da der Zähler gegen Null strebt und der Nenner konstant ist, ist der Grenzwert Null.

f) 1/5

Kürze mit 5^n.

1/(5+4*0,4^n)

4*0,4^n strebt gegen Null.

:-)