Lim beweis und grenzwert

Question

Kann mir bitte jemand einen Lösungsweg zu der folgenden Aufgabe aufzeigen?! Danke.

Seien \( a \geq b \geq 0 . \) Zeigen Sie:
\(\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a^{n}+b^{n}}=a\)

Answer 1

lim (x --> ∞) ⁿ√(a^n + b^n)

lim (x → ∞) ⁿ√(a^n·(1 + (b/a)^n))

lim (x → ∞) ⁿ√(a^n)·ⁿ√(1 + (b/a)^n)) = a·1 = a

Answer 2

Wegen Majorantenkriterium ist

        \(\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a^{n}+b^{n}} \geq \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a^{n}} = a\).

Es genügt also,

        \(\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a^{n}+b^{n}} \leq a\)

zu zeigen.

Sei \(\varepsilon > 0\). Gesucht ist ein \(N\), so dass

(1)        \(\sqrt[n]{a^{n}+b^{n}} \leq a+\varepsilon\qquad\forall n \geq N\)

ist. Potenzieren von (1) mit \(n\) ergibt

(2)        \(a^{n}+b^{n} \leq \left(a+\varepsilon\right)^n\qquad\forall n \geq N\)

Damit (2) gilt, ist es hinreichend, dass

(3)        \(a^{n}+a^{n} \leq \left(a+\varepsilon\right)^n\qquad\forall n \geq N\)

gilt. Löse diese Gleichung nach \(n\) auf.