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Aufgabe:

Eine Kugel wird von der Dachkante eines 140m hohen Gebäudes mit der Abschussgeschwindigkeit 60m/s lotrecht nach oben geschossen. Nach t Sekunden hat sie die Höhe s(t)=140+60t-5t^2 erreicht. (s in Meter, t in Sekunden)

Nach welcher Zeit befindet sich die Kugel wieder auf Abschusshöhe?


Problem/Ansatz:

Ich weiß, dass die Ableitung der Funktion : -10t+60 ist

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140+60t-5t2 =140 hat die Lösungen t=0 und t=12.

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Vielen Dank! Könnten Sie mir bitte auch erklären, warum Sie diese Gleichung mit 140 gleichgesetzt haben?

Wann hat die Kugel wieder die Höhe 140. Wann ist s(t)=140?

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s(t) = 140 + 60·t - 5·t^2 = 140

60·t - 5·t^2 = 0

(60 - 5·t)·t = 0

t = 0 ist der Anfang und damit uninteressant

60 - 5·t = 0 → t = 12 s → Nach 12 s ist die Kugel wieder in der Ausgangshöhe.

Skizze

~plot~ 140+60x-5x^2;140;x=12;[[0|16|0|330]]  ~plot~

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Vielen Dank! Könnten Sie mir bitte auch erklären, warum Sie diese Gleichung mit 140 gleichgesetzt haben?

Du fragst mit s(t) = 140 zu welchen Zeiten sich die Kugel in einer Höhe von 140 m befindet.

Danke sehr für Ihre Antwort!!

Wenn du den Graphen deiner gegebenen Funktion ansiehst kannst du sofort Fragen beantworten wie

a) Welche Höhe erreicht die Kugel nach 2 Sekunden.

b) Nach welchen Zeiten hat die Kugel eine Höhe von ca. 300 m.

AAH und ich kann auch damit herausfinden, wann die Kugel wieder am Boden auftritt!

Hallo,

die Kugel trifft dann auf den Boden , wenn s(t) = 0 ist , kann man aus der obigen Graphik ablesen t = 14,

rechnerisch :

0= 140 + 60·t - 5·t²      hier mit der pq-Formel arbeiten

Genau. Das sollte dann etwa nach 14 Sekunden passieren

Rechnerisch

s(t) = 140 + 60·t - 5·t^2 = 0

t^2 - 12·t - 28 = 0 

(t + 2)·(t - 14) = 0

t = 14 ; t = -2 ist nicht im Definitionsbereich

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Wenn die Ableitung

$$f'(t)=-10t+60$$

folgt

$$f'(6)=-10*6+60=0$$

So benötigt die Kugel für den Weg nach oben 6 Sekunden, plus die 6 Sekunden nach unten sind es 12 Sekunden, bis die Kugel wieder auf gleicher Höhe ist.

Probe:

$$ (f'(12))^2=(-f'(0))^2$$$$→E_{kin}(12)=E_{kin}(0)$$$$→E_{pot}(12)=E_{pot}(0)$$

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Vielen, vielen Dank!

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