Ableitung der Funktion f(x) = x / (1 + x^2)

Question

Berechnen Sie die ersten zwei Ableitungen folgender Funktion:

$$ f(x) = \frac{x}{1+x^2} $$

Answer 1

f(x) = x / (1 + x^2)

Um die Funktion abzuleiten verwenden wir die Quotientenregel:

(u / v)' = (u' * v - u * v') / v^2

u = x
u' = 1

v = (1 + x^2)
v' = 2x

f '(x) = (1 * (1 + x^2) - x * 2x) / (1 + x^2)^2
f '(x) = (1 + x^2 - 2x^2) / (1 + x^2)^2
f '(x) = (1 - x^2) / (1 + x^2)^2

Zweite Ableitung funktioniert auch über Quotientenregel

u = (1 - x^2)
u' = -2x

v = (1 + x^2)^2
v' = 2*(1 + x^2)*2x = 4x*(1 + x^2)

f ''(x) = (-2x * (1 + x^2)^2 - (1 - x^2) * 4x*(1 + x^2)) / (1 + x^2)^4
f ''(x) = (-2x * (1 + x^2) - (1 - x^2) * 4x) / (1 + x^2)^3
f ''(x) = (-2x - 2x^3 - 4x + 4x^3) / (1 + x^2)^3
f ''(x) = (2x^3 - 6x) / (1 + x^2)^3

Comments

Wie könnte man die Extremstellen berechnen.? Wie rechnet man  generell Extremstellen bei einem Bruchterm ?

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Um die Extremstellen zu ermitteln setzt man die erste Ableitung gleich null. f '(x) = 0

Ein Bruch wird aber nur genau dann null, wenn der Zähler Null wird. Daher brauchen wir nur den Zähler gleich Null setzen.

(1 - x^2) = 0

x = +- 1

Da der Nenner eh nicht Null werden kann, brauchen wir das momentan nicht weiter beachten. Extremstellen vermute ich also bei +1 und -1.

Ich zeichne das mal, damit du es siehst:

~plot~ x/(1+x^2);[[-5|5|-1|1]] ~plot~