Balkenquerschnitt im Seitenverhältnis 4:5 berechnen

Question

Aufgabe:

Aus einem Baumstamm mit einem Durchmesser d=50 cm soll ein möglicher starker Balken hergestellt werden.

Ermitteln Sie, wie viel Prozent der Abfall beträgt, wenn der Balkenquerschnitt rechteckig mit dem Seitenverhältnis 4:5 ist.

Problem/Ansatz:

Anhand vom Durchmesser kann ich die Seiten von einem Quadrat berechnen, jedoch verstehe ich nicht wie ich auf das Seitenverhältnis 4:5 komme.

Answer 1

Wenn die Seitenlängen 4x und 5x sind, dann ist die Diagonalenlänge \( \sqrt{41}\cdot x \) (und das ist dann der Durchmesser).

Mit dem Durchmesser kannst du die Querschnittsfläche (Kreisfläche) berechnen und den Balkenquerschnitt dazu ins Verhältnis setzen.

Comments

Was setze ich bei x ein?

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Du setzt "x" ein. Der Balkenquerschnitt ist 20x², die Kreisfläche ist ebenfalls etwas mit dem Faktor x², und beim Bilden des Verhältnisses \( \frac{20x^2}{...x^2} \) kürzt sich der Faktor x² sowieso raus.

Answer 2

Rechtwinkliger Balken = Pythagoras
Hypotenuse = 50 cm
Länge Kathete 1 = x
Länge Kathete 2 = 4/5 * x

50 ^2 = x^2 + 4/5 * x^2
x = 37.27 cm
y = x * 4/5 = 29.81 cm
A ( Balken ) = x * y = 1111 cm^2
A ( Stamm ) = (50/2 )^2 * pi = 1963 cm^2

1111/ 1963 = 0.5659 = 56.59 %
Abfall : 100 minus 56.59 = 43.41 %

Comments

Hallo Georgborn,

diesen Ansatz hatte ich auch im Kopf und habe meinen Lehrer nachgefragt, was sich als falsch herausgestellt hat.

Eigentlich fordert diese Angabe ein lineares Gleichungssystem wie gefolgt:
I: x:y= 4:5

II: x²+y²=50²

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Hallo Jace,
bei einem linearem Gleichungssystem
dürfen die Variablen aber nur in der
1.Potenz vorkiommen

trotzdem eine Korrektur in meiner Lösung
anstelle
50 ^2 = x^2 + 4/5 * x^2
muß es heißen
50 ^2 = x^2 + ( 4/5 * x ) ^2

x / y= 4 / 5  => x = 4 / 5 * y

x ^2 + y^2 = 50 ^2
( 4/5 * y ) ^2 + y^2 = 50 ^2

y = 39.04
x:= 31.23