Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades

Question

Aufgabe:

4. Der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades ist punktsymmetrisch zum Ursprung und schneidet den Graphen von \( g(x)=\frac{1}{2}\left(4 x^{3}+x\right) \) im Ursprung senkrecht. Ein zweiter Schnittpunkt mit g liegt bei \( x=1 . \) Wie lautet die Funktionsgleichung?

Answer 1

Der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades

(1)    f(x) = ax³ + bx² + cx + d

ist punktsymmetrisch zum Ursprung

(2)    b = 0

(3)    d = 0

schneidet den Graphen von \( g(x)=\frac{1}{2}\left(4 x^{3}+x\right) \) im Ursprung senkrecht.

(4)    f'(0) = -1/g'(0)

Ein zweiter Schnittpunkt mit g liegt bei \( x=1 . \)

(5)    f(1) = g(1)

Bestimmen Sie die Gleichung der Funktion \( \mathrm{f} \) mit den beschriebenen Eigenschaften.

Erstelle aus (4) und (5) mit Hilfe von (1) die Gleichungen (6) und (7)

Löse das Gleichungssystem (2),(3),(6),(7).

Setze die Lösung in (1) ein. Ergebnis ist die Funktionsgleichung.

Comments

Hei,

Was meinen Sie mit Gleichung 6 & 7 ?

Was ist das ?

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Das sind die Gleichungen, die du aus (4) und (5) bekommen hast.

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Ich hab f(x)= -1x^3 + 1bx^2 + cx+d raus ? Wenn ich 4 &5 in 1 einsetze

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Es ist

        f'(x) = 3ax² + 2bx + c,

also

(8)        f'(0) = 3a·0² + 2b·0 + c = c.

Es ist

        g'(x) = 1/2·(12x² + 1)

also

(9)        g'(0) = 1/2·(12·0² + 1) = 1/2

Einsetzen von (8) und (9) in (4) ergibt

        c = -1/(1/2)

also

(6)        c = -2.

Es ist

(10)        f(1) = a·1³ + b·1² + c· + d = a + b + c + d

und

(11)        g(1) = 1/2·(4·1³ + 1) = 5/2.

Einsetzen von (10) und (11) in (5) ergibt

(7)        a + b + c + d = 5/2.

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KRASS !! D A N K E

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Hi,

Warum ist f’(0) gleich -1?

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\(f'(0)=-\frac{1}{g'(0)}\), da g(x) im Ursprung senkrecht geschnitten wird.