Parametrisierung/Koordinatentransformation für Integralrechnung

Question

Aufgabe:

$$ M=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: 1 \leq x^{2}-y^{2} \leq 9,2 \leq x y \leq 4\right\}. $$
Überlegen Sie sich eine geeignete Koordinatentransformation und berechnen Sie
$$ \int \limits_{M} x^{2}+y^{2} \mathrm{d} V $$

Wie die Aufgabe grundsätzlich gerechnet wird ist mir klar. Ich finde nur keine passende Parametrisierung (Koordinatentransformation) für die abgebildete Aufgabe.

Comments

Hallo,

die Beschreibung von M legt die Koordinaten

$$s=x^2-y^2, t=xy$$

nahe.

Gruß

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Danke. Haste auch noch einen Tipp, wie ich damit weiterrechnen muss?

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Naja, vielleicht solltest Du mal hier den Transformationssatz für Integrale in Eurer Fassung zitieren, damit wir eine Basis für weitere Tipps haben.

Für mich war auch der Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion hilfreich (technisch gesehen)

Gruß

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\( \int \limits_{\Phi(\Omega)} f(y) \mathrm{d} y=\int \limits_{\Omega} f(\Phi(x)) \cdot|\operatorname{det}(D \Phi(x))| \mathrm{d} x \)

Das ist die Definition in der Vorlesung.

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da ist mit y wohl (x,y) mit x=(s,t) gemeint, dann wende einfach die Formel an.

Gruß  lul

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Hallo

ich habe Dir oben eine Transformation \((x,y) \mapsto (s,t)\) angegeben. Die Transformation \(\Phi\) ist die Umkehrtransformation davon, also \((x,y)= \Phi(s,t)\).

Zunächst wäre zu prüfen, ob \(\Phi\) überhaupt existier, also etwas einfach berechnen, d.h. die Gleichungen nach x und y auflösen.

Wenn es dann daran geht, die Bestimmungsstücke des Integrals zu berechnen, zum Beispiel die Funktionaldeterminante, kann man sich das vereinfachen...

Gruß

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Vom Duplikat:

Titel: Koordinatentransformation - Integral - Menge - Universität

Stichworte: koordinatensystem,integral,transformation,universität

$$ M=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: 1 \leq x^{2}-y^{2} \leq 9,2 \leq x y \leq 4\right\} $$
Überlegen Sie sich eine geeignete Koordinatentransformation und berechnen Sie
$$ \int \limits_{M} x^{2}+y^{2} \mathrm{d} V $$

Wir haben die obere Menge gegeben und sollen mithilfe der Koordinatentransformation das Integral berechnen.

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Was ist mit

https://www.mathelounge.de/770389/parametrisierung-koordinatentransformation-integralrechnung#c770459

Gruß

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Hat mir leider irgendwie nich ganz so weiter geholfen, weil ich trotz der Parametrisierung net weiter gekommen bin.

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Die Formel lautet:

\(\int \limits_{\Phi(\Omega)} f(y) \mathrm{d} y=\int \limits_{M} f(\Phi(x)) \cdot|\operatorname{det}(\Phi'(x))| \mathrm{d} x \)

wie erhält man Φ(x(s,t), y(s,t))?

bzw. wie kommt man auf x(s,t) und y(s,t)?

habe soweit:

s = x^2 -y^2 => x = √(s-y^2)

t = xy => y = t/x

daraus folgt:

y in x:

\( x=\sqrt{s-\left(\frac{t}{x}\right)^{2}} \)

und x in y:

\( y=\frac{t}{\sqrt{s-y^{2}}} \)

wie bekomme ich nun je x und y weg?

und ab hier ist alles klar. einfach die Formel anwenden.

D.h. Φ ableiten, also jacobi matrix aufstellen.

danach die det der Jacobi matrix.

und dann alles in die Formel oben und mit den grenzen 1 bis 9 und 2 bis 4 ausrechnen?

mfg

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Du kannst in der Gleichung s=x^2-y^2 die Variable y durch t/x ersetzen und dann nach x auflösen. Dazu kanns Du zunächst die Substitution z=x^2 durchführen.

Gruß

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\(x=\sqrt{s+\left(\frac{t}{x}\right)^{2}} \)

hab ich oben schon gemacht.

"nach x auflösen" ... das weiß ich schon.

nur ist es in diesem Fall schwer und ich weiß nicht wie genau.

das ergebnis soll so aussehen laut musterlösung. aber ich habe keine ahnung wie ich drauf kommen soll.

\( x(u, v)=\frac{\sqrt{s+\sqrt{s^{2}+4 t^{2}}}}{\sqrt{2}} \)

mfg

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bzw. x(s,t) statt u,v

Answer 1

Hallo,

s= x^2 - y^2 , t = xy -> x=t/y

s= (t/y)^2 -y^2 | •y^2

sy^2 = t^2 - y^4

y^4 + sy^2 = t^2

Diese biquadratische Gleichung ist nach y zu lösen.

y^4 + sy^2 = t^2

(y^2 +1/2 s)^2 = t^2 + 1/4 s^2

Ab hier solltest du selber weiterkommen.

Comments

ok dann subst. und dann umformen wurzelz. und rücks. und nochmal wurzel ziehen dann 1/2 rausziehen... x geht genauso mit y einsetzen und nach x umformen. und eben die andere bin. formel anwenden...

der rest ist nun klar.

vielen dank.

ich bin nicht der Fragesteller und kann nicht beste antwort auswählen. aber daumen hoch dafür.