LGS aufstellen zu gegebener Lösungsmenge, die 2 Parameter hat im R^3

Question

Aufgabe 1: Wir betrachten die folgende Teilmenge von R³ :
$$ U:=\left\{a\left(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right)+b\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 3 \end{array}\right) ; a, b \in \mathbb{R}\right\} $$
Geben Sie ein lineares Gleichungssystem mit Lösungsmenge U an (mit Begründung).

Problem/Ansatz:

x = a + b, y = 2a , z = 3a + 3b

was muss ich noch machen? Wie begründe ich?

Answer 1

Aloha :)

Die Teilmenge \(U\) ist eine Ebene im \(\mathbb R^3\). Das heißt wir haben zwei Freiheitsgrade, können also zwei Koordinaten völlig frei wählen, aber die dritte Koordinate ist dann durch die beiden ersten festgelegt. Übertragen auf das Gleichungssystem benötigen wir also zwei immer wahre Gleichungen, etwa zwei Mal \(0x+0y+0z=0\), und eben genau diese eine Gleichung, die die Abhängigkeit der einen Koordinate von den beiden frei gewählten beschreibt. Diese Gleichung finden wir, indem wir die Ebenengleichung auf Koordinatenform bringen:$$\vec n=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}1\\0\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6-0\\3-3\\0-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\0\\-2\end{pmatrix}$$Da der Aufpunkt der Nullpunkt ist, haben wir also unsere Koordinatenform schon gefunden:$$6x-2z=0\quad\Leftrightarrow\quad 3x-z=0$$\(y\) kommt gar nicht vor, ist also völlig frei wählbar. Wenn nun aber \(x\) frei gewählt wird, ist \(z\) bestimmt und umgekehrt. Nach dem oben Gesagten lautet also ein mögliches Gleichungssystem mit der Lösungsmenge \(U\):$$\begin{pmatrix}3 & 0 & -1\\0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\end{pmatrix}\vec x=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$$

Answer 2

Eine einzelne Gleichung ist auch ein "Gleichungssystem".

Wenn du dir vor die beiden Vektoren noch \( \vec{x}=\begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} + ...\)  davorschreibst wird du merken, dass diese "Teilmenge des Raums" gerade die Gleichung einer Ebene ist, die durch den Ursrung verlauft und die beiden angegeben Vektoren als Spannvektoren hat.

Stelle diese Ebene in der Form ax+by+cz=d dar, wobei wir schon wissen, dass d=0 ist (und die Bezeichnung unglücklich gewählt ist, weil das a und das b hier etwas anderes bedeuten als die beiden dummerweise ebenfalls mit a und b benannten Faktoren vor den Vektoren.

Und wenn diese einzelne Gleichung nicht als "Gleichungssystem" akzeptiert wird; Schreibe diese Gleichung einfach zweimal untereinander.